Ћекции.ќрг
 

 атегории:


Ёкологические группы птиц јстраханской области: ѕтицы приспособлены к различным услови€м обитани€, на чем и основана их экологическа€ классификаци€...


Ёлектрогитара Fender: Ёти статьи описывают создание цельнокорпусной, частично-полой и полой электрогитар...


 ак ухаживать за кактусами в домашних услови€х, цветение: ƒл€ кого-то, это странное Ђколючееї растение, к тому же плохо растет в домашних услови€х...

Ќеустойчивости линейного осцилл€тора



–ассмотрим в общих чертах некоторые из основных идей теории устойчивости.

«десь масса удерживаетс€ упругой пружиной с жесткостью и амортизирующим демпфером, который создает в€зкую силу , противоположную скорости .

»зобража€ график зависимости перемещени€ от времени , получаем картину затухающих колебаний, характерных дл€ движени€ ма€тника в воздухе (см. рисунок).

–исунок 1.61 - ѕоведение линейного осцил€тора с затуханием

¬ фазовом пространстве переменных и имеетс€ устойчивый фокус, переход€щий в окружности или эллипсы дл€ незатухающей системы.

“рехмерный график такого асимптотически устойчивого поведени€ показан на следующем рисунке в пространстве переменных , и .

”равнение движени€ осцилл€тора имеет следующий вид:

.

”равнение движени€, отнесенное к массе и имеющее удобную стандартную форму . Ёкспоненциальное решение данного уравнени€ имеет вид , где Ц корни характеристического уравнени€ .

¬ рассматриваемом случае характеристическое уравнение квадратично по .

–ешение зависит от корней характеристического уравнени€, которые будут действительными или комплексными в зависимости от знака дискриминанта .

≈сли дискриминант положителен , имеютс€ два действительных корн€, и, как и предполагалось, решение ведет себ€ экспоненциально.

≈сли же дискриминант отрицателен , уравнение имеет два комплексно сопр€женных корн€ и дает решение вида .

“аким образом, осцилл€тор с демпфером становитс€ неустойчивым, если хот€ бы один из корней имеет положительную действительную часть (рисунок 1.62).

–исунок 1.62 - “раектории в случае устойчивого и неустойчивого фокуса: а Ц устойсивый фокус; б Ц неустойчивый фокус

 

ѕри решении уравнени€ его наиболее часто представл€ют в следующем виде . ¬ыражение дл€ дискриминанта равно .

≈сли начальные услови€ заданы в виде: и при , то дл€ случа€, когда решение запишетс€:

,

а при Ц в виде

,

где .

”множим каждый из членов уравнение на скорость (скорость) и после не сложных преобразований получим:

.

¬еличина, сто€ща€ в скобках, Ц это с точностью до посто€нного множител€ полна€ энерги€ осцилл€тора.

ѕри он равен начальной энергии осцилл€тора, котора€ зависит от его положени€ и начальной скорости. „лен в правой части учитывает диссипацию энергии.  огда коэффициент положителен, то со временем полна€ энерги€ уменьшаетс€ до тех пор, пока не обратитьс€ в нуль и линейный осцилл€тор при описывает затухающие колебани€.

ќднако коэффициент может быть и отрицательным в том случае если движение осцилл€тора порождает силы, увеличивающие это движение. Ќапример, в клапанных механизмах подкачки энергии. ѕри линейный осцилл€тор описывает нарастающие колебани€ или не колебательный уход от состо€ни€ равновеси€.

¬озможные типы поведени€ осцилл€тора изображены на рисунке. ≈сли жесткость велика и затухание мало, то корни комплексные и имеетс€ устойчивый фокус.

≈сли уменьшать жесткость в направлении горизонтальной стрелки, то, как только пересекаетс€ парабола критического затухани€ , корни станов€тс€ действительными и фазовый портрет превращаетс€ в устойчивый узел.

Ќагрузка на упругую конструкцию может вызвать статическую потерю устойчивости, при которой эффективна€ жесткость системы мен€етс€ с положительной на отрицательную. Ёта статическа€ неустойчивость, характеризуема€ по€влением смежного положени€ равновеси€, изображаетс€ горизонтальной стрелкой.

–исунок 1.63 - ‘азовый портрет и структура корней дл€ линейного осцилл€тора

≈сли же гибка€ упруга€ конструкци€ подвергаетс€ силовому воздействию, скажем, ветра, то порыв ветра может вызвать галопирование конструкции, при котором эффективное затухание становитс€ отрицательным, как показано вертикальной стрелкой.

ѕри этой динамической неустойчивости устойчивый фокус переходит в неустойчивый, которому соответствует растущее колебательное движение. ѕри движении вдоль каждой из стрелок перемещени€ линейной системы станов€тс€ бесконечными в точке перехода к неустойчивому режиму, однако на поведение реальной системы обычно оказывают вли€ние нелинейные эффекты. Ётот вопрос мы будем обсуждать в следующем разделе.

 онсервативна€ система без демпфировани€ с центром эллиптических траекторий в действительности представл€ет критический промежуточный случай между устойчивой и неустойчивой област€ми, и рассмотрение упругой устойчивости без демпфировани€ приводит к патологическим корн€м, изображенным на рис. а.

Ћюбое положительное приводит к неустойчивости. ”стойчивым системам соответствуют только точки положительного квадранта (рисунок 1.64 б).

–исунок 1.64 - ћеханизмы неустойчивости Ш Ц статическа€ неустойчивость; ™ Ц динамическа€ неустойчивость; ½ Ц упруга€ неустойчивость

 

ќб этом часто забывают, и пренебрежение демпфированием, которое несущественно дл€ некоторых консервативных систем, может привести к парадоксальным результатам дл€ гироскопических и вращательных систем.





ƒата добавлени€: 2015-05-08; просмотров: 3994 | Ќарушение авторских прав


–екомендуемый контект:


ѕохожа€ информаци€:

  1. √еометрическа€ интерпретаци€ задачи линейного программировани€
  2. √рафическое решение задачи линейного программировани€
  3. ƒатчик линейного или углового перемещени€ с кодирующей маской
  4. ƒвойственна€ задача линейного программировани€
  5. ƒихотоми€ 'устойчивости/неустойчивости' в политической жизни
  6. «адача линейного программировани€
  7. «адача линейного программировани€. ‘илиал государственного образовательного учреждени€ высшего
  8. »«ƒ ћеханика поступательного и вращательного движени€. 5.1. Ќа рисунке представлен график зависимости проекции скорости от времени дл€ пр€молинейного движени€ тела
  9. ћетод половинного делени€. »сследование нелинейного уравнени€
  10. ћоделирование задачи оптимизации производства методами линейного программировани€
  11. ћощность. ћощность равномерного пр€молинейного движени€. ћгновенна€ мощность


ѕоиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.003 с.