Расчет надежности систем с параллельным соединением элементов

В дальнейшем рассмотрим методы расчета надежности систем с параллельным соединением элементов. Для упрощения выкладок проведем анализ работоспособности простейшей системы из двух элементов. Согласно данному выше определению, отказ такой системы происходит, когда отказывают оба элемента (и первый и второй). Таким образом, вероятность отказа Q определяется вероятностью совместного выполнения неравенств

ρ₁ < 0 и ρ₂ < 0

то есть Q = P{ρ₁ < 0; ρ₂ < 0 } (1.35) Применяя к (1.35) теорему умножения вероятности, получим

Q = P{ρ₂ < 0}P{ρ₁ < 0 / ρ₂ < 0}

Очевидно, для независимых элементов соотношение примет вид

Q = P{ρ₁ < 0}P{ρ₂ < 0} = (1 – h₁)(1 – h₂)

где h₁ = P{ρ₁ > 0}

h₂ = P{ρ₂ > 0}

Отсюда надежность системы будет равна

H = 1 – Q = 1 - (1 – h₁)(1 – h₂) (1.36)

Если элементы зависимы, для оценки надежности необходимо вычислять условные вероятности P{ρ₁ < 0 / ρ₂ < 0}. Рассмотрим определение этой вероятности для случая линейно зависимых элементов.

Как видно из графика при ρ₂ < 0 значения всегда отрицательны. Следовательно, условная вероятность P{ρ₁ < 0 / ρ₂ < 0} будет равна единице как вероятность достоверного события. Отсюда

Q = P{ρ₂ < 0} = 1 – h₂

Как было показано выше, второй элемент имеет максимальную надежность. Поэтому соотношение можно записать так

Q = 1- max { h₁, h₂}

Отсюда

Н = 1 – Q = max { h₁, h₂}

Полученные выше результаты позволяют записать следующую интервальную оценку

(1.37)

Равенство справа выполняется в случае независимости элементов (r = 0). Нижняя оценка является точной для системы с линейно зависимыми элементами (r = 1). При промежуточных значениях коэффициента корреляции надежность лежит внутри диапазона (1.37). Равенство справа используется для оценки надежности систем с «горячим» резервированием.

«Горячее» резервирование – резервирование с постоянным включением резервных элементов (см. рис. 1.7).

Такое резервирование возможно, когда подключение резервного элемента не существенно изменяет рабочий режим устройства. Достоинством такого резервирования является постоянная готовность резервного элемента. Безотказность схемы в этом случае определяется по формуле

H = 1 – (1 – h)ⁿ (1.38)

где h – надежность одного устройства, n – число резервных элементов с учетом основного.