Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет своё значение независимо от места его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой символам I, V, X, L, С, D, М соответствуют числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Недостатком этой системы является сложность формальных правил записи чисел и выполнения арифметических действий над ними.
Система счисления называется позиционной, если значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Это значение находится в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни.
Количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления. Так, в десятичной системе используются десять цифр (от 0 до 9), основанием этой системы является число десять.
В позиционных системах счисления числа записываются в виде последовательности символов:
N = an an- 1 ... a 1 a 0, a -1 a -2 ... а-m ( р ),(3.1)
где N – число;
ai – цифры (символы) числа;
p – основание системы счисления;
n, m – порядковый номер разряда для целой и дробной частей числа соответственно.
Здесь и в дальнейшем основание системы счисления, в которой представлено число, будем указывать в виде нижнего индекса в скобках.
В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Значение числа, записанного в виде (3.1), может быть найдено по следующей формуле:
N = an·pn+an- 1 ·pn -1 +... +a 0 ·p 0 +a -1 ·p -1 +a -2 ·p -2 +...+а-m·p-m. (3.2)
В системе счисления с основанием р используется р цифр – символы от 0 по (р -1). Число, равное основанию, запишется 10(р).
В десятичной системе счисления мы производим вычисления по формуле (3.2), практически не задумываясь. Возьмём для примера десятичное число 123,45:
122130,4-15-2 (10) = 1·102+2·101+3·100+4·10-1+5·10-2 = 100+20+3+0,4+0,05.
Помимо десятичной, могут применяться и другие позиционные системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
Так, в двоичной системе счисления используются две цифры: 0 и 1. Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным кодом.
