Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


–асчет надежности, основанный на использовании параллельно-последовательных структур




ѕусть некотора€ техническа€ система D составлена из n элементов (узлов). ƒопустим, надежности элементов нам известны. ¬озникает вопрос об определении надежности системы. ќна зависит от того, каким образом элементы объединены в систему, какова функци€ каждого из них и в какой мере исправна€ работа каждого элемента необходима дл€ работы системы в целом.

ѕараллельно-последовательна€ структура надежности сложного издели€ дает представление о св€зи между надежностью издели€ и надежностью его элементов. –асчет надежности ведетс€ последовательно Ч начина€ от расчета элементарных узлов структуры к ее все более сложным узлам. Ќапример, в структуре (рис. 4.5.3, а) узел, состо€щий из элементов 1Ч2 Ч элементарный узел, состо€щий из элементов 1Ч2Ч3Ч4 Ч сложный. Ёта структура может быть сведена к эквивалентной, состо€щей из элементов 1Ч2Ч3Ч4 и элемента 5, соединенных последовательно. –асчет надежности в данном случае сводитс€ к расчету отдельных участков схемы, состо€щих из параллельно и последовательно соединенных элементов.

4.5.3.1. —истема с последовательным соединением элементов

—амым простым случаем в расчетном смысле €вл€етс€ последовательное соединение элементов системы. ¬ такой системе отказ любого элемента равносилен отказу системы в целом. ѕо аналогии с цепочкой последовательно соединенных проводников, обрыв каждого из которых равносилен размыканию всей цепи, мы и называем такое соединение Ђпоследовательнымї (рис. 4.5.4).

 

—ледует по€снить, что Ђпоследовательнымї такое соединение элементов €вл€етс€ только в смысле надежности, физически они могут быть соединены как угодно.

— позиции надежности такое соединение означает, что отказ устройства, состо€щего из этих элементов, происходит при отказе элемента 1, или элемента 2, или элемента 3, или элемента n. ”словие работоспособности можно сформулировать следующим образом: устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1, и элемент 2, и элемент 3, и элемент n.

¬ыразим надежность данной системы через надежности ее элементов. ѕусть имеетс€ некоторый промежуток времени (0,τ), в течение которого требуетс€ обеспечить безотказную работу системы. “огда, если надежность системы характеризуетс€ законом надежности (t), нам важно знать значение этой надежности при t = τ, т. е. (τ). Ёто не функци€, а определенное число; отбросим аргумент τ и обозначим надежность системы просто . јналогично обозначим надежности отдельных элементов P 1, P 2, P 3,..., P n.

ƒл€ безотказной работы простой системы в течение времени τ нужно, чтобы безотказно работал каждый из ее элементов. ќбозначим S Ч событие, состо€щее в безотказной работе системы за врем€; s 1, s 2, s 3,..., s n Ч событи€, состо€щие в безотказной работе соответствующих элементов. —обытие S есть произведение (совмещение) событий s 1, s 2, s 3,..., s n:

ѕредположим, что элементы s 1, s 2, s 3,..., s n отказывают независимо друг от друга (или, как говор€т применительно к надежности, Ђнезависимы по отказамї, а совсем кратко: Ђнезависимыї). “огда по правилу умножени€ веро€тностей дл€ независимых событий P (S) = P (s 1) ⋅ P (s 2) ⋅ P (s 3) ⋅... ⋅ P (sn) или в других обозначени€х:

а короче:

т. е. надежность (веро€тность работоспособного состо€ни€) простой системы, составленной из независимых по отказам, последовательно соединенных элементов, равна произведению надежностей ее элементов.

¬ частном случае, когда все элементы обладают одинаковой надежностью P 1 = P 2 = P 3 =... = Pn, выражение (4.5.2) принимает вид:

ѕ–»ћ≈– 4.5.1. —истема состоит из 10 независимых элементов, надежность каждого из которых равна =0,95. ќпределить надежность системы.

ѕо формуле (4.5.3) = 0,9510 ≈ 0,6.

»з примера видно, как резко падает надежность системы при увеличении в ней числа элементов. ≈сли число элементов n велико, то дл€ обеспечени€ хот€ бы приемлемой надежности системы каждый элемент должен обладать очень высокой надежностью.

ѕоставим вопрос: какой надежностью должен обладать отдельный элемент дл€ того, чтобы система, составленна€ из n таких элементов, обладала заданной надежностью ?

»з формулы (4.5.3) получим:

ѕ–»ћ≈– 4.5.2. ѕроста€ система состоит из 1000 одинаково надежных, независимых элементов.  акой надежностью должен обладать каждый из них дл€ того, чтобы надежность системы была не меньше 0,9?

ѕо формуле (4.5.4)

»нтенсивность отказов системы при экспоненциальном законе распределени€ времени до отказа легко определить из выражени€:

λ c = λ1 + λ2 + λ3 +...+λ n, (4.5.5)

т. е. как сумму интенсивностей отказов независимых элементов. Ёто и естественно, так как дл€ системы, в которой элементы соединены последовательно, отказ элемента равносилен отказу системы, значит все потоки отказов отдельных элементов складываютс€ в один поток отказов системы с интенсивностью, равной сумме интенсивностей отдельных потоков.

‘ормула (4.5.4) получаетс€ из выражени€:

—реднее врем€ работы до отказа:

T 0 = 1 / λ c . (4.5.7)

ѕ–»ћ≈– 4.5.3. ѕроста€ система S (рис. 4.5.5) состоит из трех независимых элементов, плотности распределени€ времени безотказной работы которых заданы формулами:

Ќайти интенсивность отказов системы.

–ешение. ќпредел€ем ненадежность каждого элемента:

ќтсюда надежности элементов:

»нтенсивности отказов элементов (условна€ плотность веро€тности отказов) Ч отношение f (t) к p (t):

—кладыва€, имеем:

ѕ–»ћ≈– 4.5.4. ѕредположим, что дл€ работы системы с последовательным соединением элементов при полной нагрузке необходимы два разнотипных насоса, причем насосы имеют посто€нные интенсивности отказов, равные соответственно λ1 = 0,0001 чЦ1 и λ2 = 0,0002 чЦ1. “ребуетс€ вычислить среднее врем€ безотказной работы данной системы и веро€тность ее безотказной работы в течение 100 ч. ѕредполагаетс€, что оба насоса начинают работать в момент времени t = 0.

— помощью формулы (4.5.6) находим веро€тность безотказной работы P s заданной системы в течение 100 ч:

»спользу€ формулу (4.5.7), получаем:

Ќа рис. 4.5.6 представлено параллельное соединение элементов 1, 2, 3. Ёто означает, что устройство, состо€щее из этих элементов, переходит в состо€ние отказа после отказа всех элементов при условии, что все элементы системы наход€тс€ под нагрузкой, а отказы элементов статистически независимы.

–ис. 4.5.6. Ѕлок-схема системы с параллельным соединением элементов.

 

”словие работоспособности устройства можно сформулировать следующим образом: устройство работоспособно, если работоспособен элемент 1, или элемент 2, или элемент 3, или элементы 1 и 2, 1 и 3, 2 и 3, 1 и 2 и 3.

¬еро€тность безотказного состо€ни€ устройства, состо€щего из n параллельно соединенных элементов определ€етс€ по теореме сложени€ веро€тностей совместных случайных событий как

ƒл€ приведенной блок-схемы (рис. 4.5.6), состо€щей из трех элементов, выражение (4.5.8) можно записать:

ѕрименительно к проблемам надежности, по правилу умножени€ веро€тностей независимых (в совокупности) событий, надежность устройства из n элементов вычисл€етс€ по формуле:

т. е. при параллельном соединении независимых (в смысле надежности) элементов их ненадежности (1 − pi = qi) перемножаютс€. ¬ частном случае, когда надежности всех элементов одинаковы, формула (4.5.9) принимает вид:

ѕ–»ћ≈– 4.5.5. ѕредохранительное устройство, обеспечивающее безопасность работы системы под давлением, состоит из трех дублирующих друг друга клапанов. Ќадежность каждого из них р = 0,9.  лапаны независимы в смысле надежности. Ќайти надежность устройства. –ешение. ѕо формуле (4.5.10)

P = 1 − (1 − 0,9)3 = 0,999.

»нтенсивность отказов устройства состо€щего из n параллельно соединенных элементов, обладающих посто€нной интенсивностью отказов λ0, определ€етс€ как:

»з (4.5.11) видно, что интенсивность отказов устройства при n > 1 зависит от t: при t = 0 она равна нулю, при увеличении t, монотонно возрастает до λ0.

≈сли интенсивности отказов элементов посто€нны и подчинены показательному закону распределени€, то выражение (4.5.9) можно записать:

—реднее врем€ безотказной работы системы 0 находим, интегриру€ уравнение (4.5.12) в интервале [0, ∞]:

¬ случае, когда интенсивности отказов всех элементов одинаковы, выражение (4.5.13) принимает вид:

—реднее врем€ работы до отказа также можно получить, интегриру€ уравнение (4.5.8) в интервале [0, ∞].

ѕ–»ћ≈– 4.5.6. ѕредположим, что два одинаковых вентил€тора в системе очистки отход€щих газов работают параллельно, причем если один из них выходит из стро€, то другой способен работать при полной системной нагрузке без изменени€ своих надежностных характеристик.

“ребуетс€ найти безотказность системы в течение 400 ч (продолжительность выполнени€ задани€) при условии, что интенсивности отказов двигателей вентил€торов посто€нны и равны λ = 0,0005 чЦ1, отказы двигателей статистически независимы и оба вентил€тора начинают работать в момент времени t = 0.

–ешение. ¬ случае идентичных элементов формула (4.5.12) принимает вид:

P (t) = 2exp(−λ t) − exp(−2λ t).

ѕоскольку λ = 0,0005ч-1 и t = 400 ч, то:

P (400) = 2exp(−0,0005 × 400) − exp(−2 × 0,0005 × 400) = 0,9671.

—реднюю наработку на отказ находим, использу€ (4.5.13):

T 0 = 1 / λ(1 / 1 + 1 / 2) = 1 / λ × 3 / 2 = 1,5 / 0,0005 = 3000 ч.

 

4.5.3.3. —пособы преобразовани€ сложных структур

ќтносительна€ простота расчетов надежности, основанных на использовании параллельно-последовательных структур, делают их самыми распространенными в инженерной практике. ќднако не всегда условие работоспособности можно непосредственно представить параллельно-последовательной структурой. ¬ этом случае можно сложную структуру заменить ее эквивалентной параллельно-последовательной структурой.   таким преобразовани€м относ€тс€:

Ч преобразование с эквивалентной заменой треугольника на звезду и обратно;

Ч разложение сложной структуры по базовому элементу.

—ущество способа преобразовани€ с помощью эквивалентной замены треугольника на звезду и обратно заключаетс€ в том, что узел сложной конфигурации замен€етс€ на узел другой, более простой конфигурации, но при этом подбираютс€ такие характеристики нового узла, что надежности преобразуемой цепи сохран€лись прежними.

ѕусть, например, требуетс€ заменить треугольник (рис. 4.5.7, а) звездой (рис. 4.5.7, б) при условии, что веро€тность отказа элемента a равна q 13, элемента b равна q 12, элемента c Ч q 23.

ѕереход к соединению звездой не должен изменить надежность цепей 1Ч2, 1Ч3, 2Ч3. ѕоэтому значение веро€тностей отказов элементов звезды q 1, q 2, q 3

должны удовлетвор€ть следующим равенствам:

≈сли пренебречь произведени€ми вида , то в результате решени€ системы уравнени€ (4.5.15) можно записать:

ƒл€ обратного преобразовани€ звезды в треугольник:

ѕ–»ћ≈– 4.5.7. ќпределить веро€тность безотказной работы устройства, структурна€ схема которого изображена на рис. 4.5.8, б, если известно, что веро€тности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9, а веро€тности отказов равны 0,1.

–ис. 4.5.8.   примеру преобразовани€ структуры.

–ешение.

1. ѕреобразуем соединение элементов 1, 2, 5 в треугольник (рис. 4.5.8, а), в звезду (рис. 4.5.8, б).

2. ќпределим эквивалентные значени€ веро€тности отказов дл€ новых элементов a, b, c:

3. ќпределим значени€ веро€тности безотказного состо€ни€ элементов эквивалентной схемы (рис. 4.5.8, б):

4. ќпределим веро€тность безотказной работы эквивалентного устройства (рис. 4.5.9):

—пособ преобразовани€ с помощью разложени€ сложной структуры по некоторому базовому элементу основан на использовании теоремы о сумме веро€тностей несовместных событий. ¬ сложной структуре выбирают базовый элемент (или группу базовых элементов) и делаютс€ следующие допущени€:

Ч базовый элемент находитс€ в работоспособном состо€нии;

Ч базовый элемент находитс€ в отказавшем состо€нии.

ƒл€ этих случаев, представл€ющих собой два несовместных событи€, исходна€ структура преобразовываетс€ в две новые схемы. ¬ первой из них вместо базового элемента ставитс€ Ђкороткое замыканиеї цепи, а во второй Ч разрыв. ¬еро€тности безотказной работы каждой из полученных простых структур вычисл€ютс€ и умножаютс€: перва€ Ч на веро€тность безотказного состо€ни€ базового элемента, втора€ Ч на веро€тность отказа базового элемента. ѕолученные произведени€ складываютс€. —умма равна искомой веро€тности безотказной работы сложной структуры.

ѕ–»ћ≈– 4.5.8. –ешить предыдущий пример методом разложени€ сложной структуры.

–ешение.

1. ¬ качестве базового элемента примем элемент 5 (рис. 4.5.3, б).

2. «акоротим базовый элемент, т. е. сделаем допущение об абсолютной его проводимости. ѕрисоединим к полученной структуре последовательно базовый элемент с характеристикой его надежности р 5. ¬ результате вместо исходной структуры получим новую структуру (рис. 4.5.10, а).

3. ѕроизведем обрыв базового элемента, т. е. сделаем предположение об его абсолютной ненадежности (непроводимости).   полученной структуре присоединим последовательно базовый элемент с характеристикой его ненадежности (1 − p 5). ¬ результате получим структуру (рис. 4.5.10, б).

4. »скома€ веро€тность равна сумме веро€тностей структур (рис. 4.5.10, а, б), кажда€ из которых параллельно-последовательна€. ѕоэтому:

¬еро€тность безотказной работы мостиковой схемы, состо€щей из п€ти неодинаковых и независимых элементов, можно определить по формуле:

¬ случае идентичных элементов эта формула принимает вид:

ѕодставл€€ соотношение (4.5.19) в формулу (4.5.6), получаем, что в случае использовани€ элементов с посто€нной интенсивностью отказов (экспоненциальном законе распределени€ отказов):

P (t) = 2exp(−5λ t) − 5exp(−4λ t) + 2exp(−3λ t) + 2exp(−2λ t). (4.5.20)

—реднее врем€ безотказной работы системы 0 находим путем интегрировани€

уравнени€ (4.5.20) в интервале [0, ∞]:

ѕ–»ћ≈– 4.5.9. ќпределить веро€тность безотказной работы устройства, структурна€ схема которого изображена на рис. 4.5.3, б, если известно, что веро€тности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0,9.

–ешение.

“ак как все элементы идентичны, воспользуемс€ формулой (4.5.18), с ее помощью получаем:

P = 2 × 0,95 − 5 × 0,94 + 2 × 0,93 + 2 × 0,92 ≈ 0,978.

ѕ–»ћ≈– 4.5.10. “ребуетс€ определить веро€тность безотказной работы и среднюю наработку на отказ системы, состо€щей из п€ти независимых и одинаковых элементов, соединенных по мостиковой схеме (рис. 4.5.3, б); считаетс€, что λ = 0,0005 чЦ1, t = 100 ч и все элементы начинают работать в момент времени t = 0.

–ешение.

1. — помощью формулы (4.5.20) получаем:

2. ѕодставл€€ полученное значение веро€тности безотказной работы в формулу (4.5.21), находим среднюю наработку на отказ:

T 0 = 49 / (60 × 0,0005) = 1633,4 ч.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 5472 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќаглость Ц это ругатьс€ с преподавателем по поводу четверки, хот€ перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2431 - | 2012 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.052 с.