Проведенное выше подробное изложение этапов и шагов численной реализации МКЭ дает возможность перехода непосредственно к примерам расчетов по МКЭ, иллюстрирующим возможности данного универсального метода расчета и скорость его сходимости. В табл.1 приведены прогибы в центре (точка х=а/2, у=а/2) для квадратной а× а пластинки при двух условиях закрепления на контуре и двух вариантах загружения: равномерной нагрузкой q=const и сосредоточенной силой Р в центре. Используемые в табл.1 результаты взяты из [2]. Безразмерные параметры подсчитывались по формулам
(30)
Таблица 1
В качестве конечных элементов для данной задачи в [2] использовались прямоугольные элементы с аппроксимацией перемещений неполным полиномом четвертой степени - по сравнению с аппроксимацией (14) добавлены слагаемые α11x3y и α12xy3. Такая аппроксимация соответствует изменению прогиба вдоль линий х=соп$1 и у=сопз1 по кубическому закону и повышает точность решения МКЭ при том же числе прямоугольных элементов.
Цифры N×N соответствуют сетке разбиения пластинки на конечные элементы. Анализ данных табл.1 показывает, что сходимость решения МКЭ при действии сосредоточенной силы несколько ухудшается по сравнению со случаем действия распределенной нагрузки. Тем на менее, уже результаты на сравнительно редкой сетке 8×8 дают по величине прогиба в центре wmax погрешность лишь в 6,2% по сравнению с решением С. П. Тимошенко [7], высокая точность которого общеизвестна. Заметим также, что при использовании сетки 16×16 погрешность решения МКЭ по сравнению с [7] составляет уже лишь 0,15%, что соответствует отличной точности решения, тем более, что для современных ПЭВМ решение на числе узлов, равном 289, не представляет затруднений (в каждом узле три неизвестных: прогиб и два угла поворота).
Проведем также сравнение результатов решения задачи МКЭ при использовании треугольных конечных элементов с результатами другого распространенного метода решения задач изгиба пластин - метода конечных разностей (МКР). В табл. 2 приведены безразмерные прогибы в центре w(0,0), а также безразмерные величины изгибающих моментов в центре Мζ(0,0) и в середине стороны контура Мζ(1,0) жестко заделанной пластинки с размерами в плане (2а × 2а) при действии равномерно распределенной нагрузки, причем Мζ = Мx a2/(Dh). Решение МКР [8] получено на сетке 64×64, что дает весьма высокую точность решения задачи.
Таблица 2
Анализ результатов табл.2 свидетельствует об устойчивой и достаточно быстрой сходимости МКЭ по всем рассматриваемым параметрам задачи, однако скорость сходимости по величине параметра Мζ(0,0) является несколько меньшей. На рис.10 приведены эпюры безразмерного параметра прогиба w и безразмерного изгибающего момента Мζ в сечении пластинки у=0.
Рис.10
Характер изменения эпюр изгибающих Мх, Мy и крутящего H моментов позволяет определить значения наибольших нормальных σx, σy и касательного τху напряжений. Наибольшие по толщине пластинки значения нормальных напряжений будут на нижней (знак «плюс» в формуле (31)) и верхней (знак «минус» в формуле (31)) поверхностях пластинки
(31)
Отметим, что переход от безразмерных к размерным функциям осуществляется на основе формул
(32)
При использовании энергетической теории прочности условие прочности упругих пластинок записывается в виде
(33)
где R - расчетное сопротивление для материала пластинки.
Данные сопоставления решений МКЭ (треугольные конечные элементы) с решением МКР для шарнирно опертой пластинки с размерами в плане (2а×2а) под действием равномерно распределенной нагрузки приведены в табл.3 в виде параметров прогиба w0,0) и изгибающего момента Мξ(0,0) вцентре пластинки. Цифры N×N соответствуют сетке разбиения пластинки на конечные элементы. Решение МКР [8] получено на сетке 64×64, что дает весьма высокую точность решения задачи.
Таблица 3
Анализ результатов табл.3 свидетельствует об устойчивой и быстрой сходимости МКЭ по рассматриваемым параметрам задачи. На рис.11 приведены эпюры безразмерного параметра прогиба w и безразмерного изгибающего момента Мξ в сечении пластинки у=0.
Рис.11
Отметим, что на основе формул (31), (32), (33) можно проверить прочность пластинки при заданном уровне нагружения или установить из условия прочности материала пластинки (33) допускаемый уровень нагрузки.
Дополнительным свидетельством универсальности МКЭ является возможность расчета пластинки сложной формы, представленной на рис. 12. Габаритные размеры пластинки составляют а×а, действует равномерно распределенная нагрузка q=1. Отметим, что на сложном контуре пластинки условия опирания меняются вдоль одной из сторон контура. Подчеркнем, что наличие сложного контура пластинки исключает применение прямоугольных конечных элементов, поэтому расчет МКЭ проводится для треугольных конечных элементов.
Подчеркнем, что при заданных условиях закрепления применение вариационных методов расчета пластинок [9], а также и метода конечных разностей [8] сопряжено со значительными трудностями, но МКЭ достойно решает эту проблему.
Рис.12
Для наглядной иллюстрации полученных результатов на рис. 13 приведены эпюры прогиба W иизгибающих моментов M x и My
Рис.13
Отметим, что осуществленное на рис.13 представление информации о напряженно-деформированном состоянии пластинок является в настоящее время общепринятым в проектных организациях. Действительно, вывод информации в графическом виде позволяет выявить зоны с наибольшими изгибающими моментами и назначить армирование железобетонных пластинок.
В данных методических указаниях рассмотрены далеко не все возможные варианты применения МКЭ. Для более полного ознакомления с возможностями использования МКЭ в расчетах строительных конструкций авторы рекомендуют известную монографию О. С. Зенкевича [2].
В заключение раздела приводим порядок действий при расчете пластин МКЭ г. составлением системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с числом узлов сетки.
Напомним, что в упругой задаче теории упругости уравнение Р = К*D представляет собой запись закона Гука в обобщенном виде, причем: Р -вектор сил, D - вектор перемещений, К- матрица жесткости.
Порядок действий в алгоритме МКЭ:
1. Упругое плоское тело разбивается на элементы - на треугольники и прямоугольники.
2. Для каждого элемента составляется матрица жесткости К с использованием функции формы. Функция формы представляет собой способ аппроксимации неизвестной функции перемещений D.
3. Матрицы жесткости элементов объединяются в единую матрицу жесткости для всего тела.
4. Решая систему уравнений Р = К*D, находят узловые перемещения D.
5. С помощью уравнений теории упругости определяются деформации и напряжения в узловых точках тела.
