Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


”равнени€ метода конечных элементов




¬ общем случае алгоритм ћ Ё состоит из четырех этапов.

Ётап 1. ¬ыделение конечных элементов (разбиение заданной области на конечные элементы).

Ётап 2. ќпределение аппроксимирующей функциидл€ каждого элемента (определение функции элемента). Ќа данном этапе значение непрерывной функции j(e) в произвольной точке е- гоконечного элемента аппроксимируетс€ полиномом

, (12)

где ј(e) вектор-строка коэффициентов полинома, ј0 - свободный член,   = (х,у,г)- вектор координат в рассматриваемой точке. «адачей этого этапа €вл€етс€ определение неизвестного вектора ј(e) и свободного члена ј0.

ƒл€ этого, использу€ услови€ непрерывности функций в узлах, коэффициенты полинома выражают через вектор f(e) узловых значений функции и координаты узлов и, проделав эквивалентные преобразовани€, получают

, (13)

где N(e) - матрица-строка, элементы которой называют функци€ми формы конечного элемента.

‘ункции формы легко вычисл€ютс€ в каждой точке конечного элемента через координаты самой точки и координаты узлов элемента. Ёту процедуру можно выполнить один раз дл€ типичного элемента. ѕолученна€ функци€ используетс€ далее дл€ всех остальных элементов того же вида (например, треугольных элементов). Ёта особенность €вл€етс€ важным свойством ћ Ё. Ѕлагодар€ этому элементы с однажды определенными функци€ми легко включаютс€ в библиотеку конечных элементов. ¬ качестве аппроксимирующих функций используютс€ полиномы (степенные функции).

–ассмотрим алгоритм определени€ функции элемента дл€ простейшего двумерного симплекс-элемента, представленного на рис.7. Ќеобходимо отметить, что прин€та€ в данном элементе аппроксимаци€ функции j неприменима к задачам расчета пластинок, где у функции прогиба W=j должны быть линейно мен€ющиес€ по координатам х и у вторые производные WФxx, WФyy, WФxy, чтоможно достичь лишь при записи вида

(14)

где ei - индекс, указывающийна принадлежность коэффициента к еi- у элементу - за его пределами , что €вл€етс€ математическим выражением Ђфинитностиї (конечности) данных функций.

–ис. 7. ‘ункци€ двухмерного симплекс-элемента

 

ƒвухмерный симплекс-элемент, рассматриваемый с упом€нутыми выше цел€ми, представл€ет собой плоский треугольник с пр€молинейными сторонами. »нтерпол€ционный полином, аппроксимирующий непрерывную функцию j внутри треугольного симплекс -элемента, имеет вид

(15)

ѕронумеруем узлы треугольника i, j, k, двига€сь против часовой стрелки, рис. 7. ”зловые значени€ fi, fj, fk будем считать известными. »спользу€ условие непрерывности искомой функции в узлах, составим систему уравнений

реша€ которую относительно неизвестных коэффициентов полинома, получим:

(16)

где S Ч площадь элемента, вычисл€ема€ по формуле

(17)

ѕоставив (16) в (15) и проделав преобразовани€, найдем

(18)

где

(19)

и

(20)

¬ычисл€€ значени€ функций формы Ni, Nj, Nk, нетрудно убедитьс€, что они равны Ђ1ї в узлах с соответствующими номерами и Ђ0ї в остальных узлах элемента. јналогично рассмотренным примерам. вычисл€ютс€ функции всех прочих типов элементов, набор которых может пополн€тьс€ в зависимости от типов конструкций, рассчитываемых ћ Ё.

Ќапример, дл€ треугольного конечного элемента, рис. 8, в локальной системе координат Xei0eiYei прогиб можно представить в виде полного кубического полинома (14).

ƒалее, по аналогии с примером, рассмотренным дл€ симплекс-элемгнта, провод€тс€ математические преобразовани€, в результате чего все исключаютс€ и искомыми будут лишь узловые перемещени€ и их первые производные по обоим ортогональным направлени€м. »менно через эти перемещени€ и их производные осуществл€етс€ св€зь соседних конечных элементов. «аметим, что если узлы попадают на границу тела, то узловые перемещени€ известны из граничных условий.

–ис.8

Ётап 3. ќбъединение конечных элементов в ансамбль (систему). Ќа этом этапе уравнени€ (13), относ€щиес€ к отдельным элементам, объедин€ютс€ в ансамбль, что приводит к системе алгебраических уравнений

(21)

—истема (21) €вл€етс€ моделью искомой непрерывной функции дл€ всей конструкции.

ќснову этого этапа составл€ет замена произвольно назначенных номеров узлов i, j, k на номера, присвоенные узлам в процессе разбиени€ рассматриваемой области. Ёта процедура приводит к системе линейных алгебраических уравнений, позвол€ющей при известных узловых значени€х искомой функции получить значени€ последней в любой точке области, занимаемой конструкцией.

Ќапример, на рис.9 треугольна€ область разбита на элементы треугольной формы.

 

–ис.9

ѕример составлени€ ансамбл€ конечных элементов дл€ двумерной треугольной области

—оответствие между глобальными и локальными обозначени€ми узлов будет следующим:

элемент 1 i = 1; j = 2; k = 4;

элемент 2 i = 2; j = 3; k = 5; (22)

элемент 3 i = 2; j = 5; k = 4;

элемент 4 i= 4; j = 5; k = 6.

ѕодставл€€ значени€ (22) в (21), получим

(23)

јналогично этому замену номеров элементов необходимо проделать в (19) дл€ вычислени€ функций формы Ni, Nj, Nk. —истема уравнений (23) может рассматриватьс€ в качестве сокращенной формы математического описани€ модели. –асширенна€ форма имеет вид

(24)

что в матричной форме записываетс€ как

 

Ётап 4. ќпределение вектора узловых значений функции. ¬ общем случае вектор f неизвестен. ≈го определение - наиболее сложна€ процедура в ћ Ё. ќдин из алгоритмов поиска f основан на минимизации функционала, св€занного с физическим смыслом задачи. ƒл€ задачи расчета пластинки на изгиб минимизируетс€ функционал полной энергии пластинки, представл€ющий собой сумму потенциальной энергии пластинки и работы внешних сил. јлгоритм состоит из следующих шагов:

Ўаг 1. ¬ыбор функционала F, завис€щего дл€ стационарных задач, к которым относитс€ и задача изгиба пластинки, от искомой функции j и ее частных производных j'х, j'y, j'г, по вектору пространственных координат:

(25)

где V - объем конструкции.

‘ункционал F представл€етс€ суммой соответствующих функционалов, относ€щихс€ к отдельным конечным элементам

(26)

где N - число конечных элементов.

 

Ўаг 2. ѕодстановка аппроксимирующего выражени€ (13) в (26) и вычисление производных по формулам вида:

(27)

Ўаг 3. ћинимизаци€ по вектору f функционала F. ƒл€ этого составл€ютс€ уравнени€ вида

(28)

—уммирование выражений (28) по конечным элементам приводит к получению системы алгебраических уравнений

 f = –, (29)

где матрица коэффициентов   называетс€ матрицей жесткости, а - вектором нагрузки.

 

Ўаг 4. –ешаетс€ система уравнений (29), что позвол€ет определить искомый вектор узловых значений. Ќайденные значени€ вектора f подставл€ютс€ в (21), после чего значени€ функции j легко вычисл€ютс€ в любой точке заданной области.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-29; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1207 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент может не знать в двух случа€х: не знал, или забыл. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

1805 - | 1410 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.022 с.