Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


“очки отсчета




ќбщий закон продольных перемещений тонкостенного стержн€, имеющего в поперечном сечении открытый профиль, записываетс€ таким образом [1]:

(5)

«десь первыми трем€ членами выражен закон плоских сечений, сог≠ласно которому поперечные сечени€, плоские до деформации, остаютс€ плоскими и после деформации. ѕродольные перемещени€, определ€емые этими членами, возникают в результате сложной деформации раст€жени€ в направлении оси и изгиба в двух плоскост€х: и . ‘ункци€ определ€ет осевую деформацию, поперечные сечени€ при этой деформации получают только поступательные смещени€ вдоль образующей стержн€. ‘ункци€ и , представл€ют собой прогибы оси стержн€ в плоскост€х , , характеризуют деформацию изгиба. ѕри этой деформации поперечные сечени€, остава€сь плоскими, поворачиваютс€ относительно осей , .

„етвертым членом формулы (5) определ€етс€ та часть перемещений, котора€ не следует закону плоских сечений и возникает в результате кручени€. Ёто отклонение от закона плоских сечений называетс€ секториальной депланацией сечени€. ¬еличина , представл€юща€ собой относительный угол кручени€, служит мерой депланации стержн€ при кручении. ’арактер депланации поперечного сечени€ из своей плоскости задаетс€ функцией , котора€ называетс€ секториальной площадью.

¬ классической теории изгиба балок, основанной на законе плоских сечений (три первых члена выражени€ (5)) за ось стержн€ принимаетс€ лини€ центров т€жести поперечных сечений стержн€. —ам стержень отождествл€етс€ с этой осью. Ёто основное пон€тие строительной механики стержневых систем, вытекающее из закона плоских сечений и имеющее основание в принципе —ен-¬енана.

ƒл€ тонкостенного стержн€ существенно значение имеет также и лини€ центров т€жести. Ћинией центров изгиба называетс€ пр€ма€, параллельна€ оси стержн€ и обладающа€ следующим свойством: если внешн€€ поперечна€ нагрузка, включа€ реакции, проходит через эту пр€мую, то стержень будет находитьс€ в услови€х центрального поперечного изгиба. “о есть стержень будет находитьс€ в услови€ закона плоских сечений и его напр€женно деформированное состо€ние описываетс€ первыми трем€ членами выражени€ (5).

≈сли поперечна€ нагрузка, включа€ опорные реакции, хот€ бы на одном участке стержн€ не проходит через линию центров изгиба, то стержень будет испытывать деформацию кручени€. ¬ его сечени€х возникнут напр€жени€ изгибного кручени€, определ€емые законом секториальных площадей, которому соответствует четвертый член выражени€ (5).

Ёта лини€ совпадает с осью центров т€жести сечени€ дл€ стержней, имеющих в поперечном сечении две оси симметрии. ¬ остальных случа€х лини€ центров изгиба не совпадает с осью стержн€.

“аким образом, если вс€ внешн€€ нагрузка, включа€ реакции опор, проходит через центры изгиба поперечных сечений стержн€, то он рассчитываетс€ по обычным формулам сопротивлени€ материалов. ≈сли нет, то в сечени€х стержн€ по€вл€ютс€ дополнительные напр€жени€, а сам расчет резко усложн€етс€. ќднако пон€тна практическа€ значимость информации о положении центра изгиба сечени€.

ѕереходим к изложению методики нахождени€ координат центра изгиба.

—екториальной площадью называетс€ геометрическа€ характеристика поперечного сечени€, определ€ема€ выражением

, (6)

где - длина элемента контура от некоторой начальной точки отсчета на нем до точки, в которой определ€етс€ значение секториальной площади: - рассто€ние от полюса до касательной к элементарному отрезку контура . ѕор€док выбора полюса и начальной точки отсчета будет рассмотрен ниже. ѕостроение эпюры секториальной площади выполн€ют двига€сь по дуге контуру сечени€, откладыва€ величину по нормали к контуру. ≈диница измерени€ - .

¬ид эпюры секториальных площадей зависит от положени€ полюса точки отсчета. «нак эпюры выбираетс€ следующим образом: при обходе контура относительно полюса против часовой стрелки беретс€ знак , при обходе контура по часовой стрелке Ц знак .

ƒл€ определени€ координат центра изгиба строитс€ вспомогательна€ эпюра , дл€ которой полюс стараютс€ выбрать так, чтобы эпюра на возможно большей части контура была нулевой. Ёто может быть достигнуто расположением полюса в угловых точках сечени€ или в точках ветвлени€ контура. ¬ыбор начальной точки преследует те же цели.

Ќа рис. 14, 15 изображены эпюры секторильной площади при различном выборе начальной точки .

»з этих эпюр видно, что во втором случае положение начальной точки отсчета выбрано неудачо. ¬ качестве эпюры поэтому берем эпюру, изображенную на рис.14. ¬ дальнейшем при построении эпюр секториальных площадей будем иметь в виду следующее:

1. Ќа пр€молинейных участках профильной линии секториальные площади всегда представл€ютс€ пр€молинейными в общем случае трапецеидальными эпюрами. ѕоэтому значение секториальной площади вычисл€етс€ дл€ начальной и конечной точки пр€молинейного участка профил€.

2. ≈сли конец радиуса-вектора скользит по пр€мой, на которой находитс€ полюс, то секториальна€ площадь остаетс€ не измененной.

3. Ќачальную точку следует брать в любой точке пр€молинейного отрезка контура, содержащего полю.

4. ¬ случае разветвл€ющегос€ контура построение эпюры секториальных площадей ведетс€ с заходом в каждую ветвь и возвращением к точке разветвлени€.

ѕосле построени€ эпюры координаты центра изгиба определ€ютс€ выражени€ми [1], [3]

; (7)

где , - координаты полюса , , называютс€ секторильными центробежными моментами инерции и определ€ютс€ следующими выражени€ми:

; (8)

 

–ис. 14

–ис.15 –ис.16

–ис.17 –ис.18

»спользу€ правило ¬ерещагина, вычисл€ем величины:

¬ычисл€ем величины и :

»звестно, что центр изгиба при наличии оси симметрии всегда лежит на ней, поэтому степень отличи€ величины от нул€ свидетельствует о величине погрешности, допущенной при проведении построений и вычислений. Ѕудем считать допустимым, если величина находитс€ в пределах

(9)

Ќайденное значение координаты удовлетвор€ет условию (9). ¬ыполнение этого услови€ означает, что эпюра построено верно, а величины определено правильно.

ќтметим, что выбранна€ величина ограничени€ (9) €вл€етс€ Ум€гкимФ ограничением. ѕревышение свидетельствует о недопустимых погрешност€х при вычислени€х или при построении эпюр. Ќапример, округлив значении , получим

.

ѕоложив , , , получим и .

ѕроверка правильности нахождени€ координаты осуществл€етс€ следующим образом. ¬ начале дадим некоторые определени€.

Ќачальна€ точка отсчета, дл€ которой при расположении полюса в центре изгиба получаем , называетс€ главной нулевой секториальной точкой или главной начальной точкой отсчета. —ама величина называетс€ секториальным статическим моментом.

ƒл€ определени€ положени€ этой точки имеетс€ специальна€ методика, однако в случае сечени€, имеющего ось симметрии, известно, что этой точкой €вл€етс€ ближайша€ к центру изгиба точка пересечени€ оси симметрии с контуром сечени€.

Ќа рис.16 показано положение главной нулевой секториальной точки . ѕостроим эпюру дл€ полюса с вычисленными координатами , и главной начальной точкой отсчета - рис.16. ѕолага€, что точка €вл€етс€ произвольно выбранным полюсом, вычисл€ем величину . Ёта величина дает отрезок, который надо отложить от в направлении оси , чтобы получить центр изгиба.

Ѕудем считать, что при выполнении услови€

(10)

координата центра изгиба определена верно. ќдновременно тем самым провер€етс€ правильность построени€ эпюры .

ƒл€ рассматриваемого примера получаем:

. (11)

“аким образом, проверка выполнена.

ƒл€ дальнейших вычислений потребуетс€ величина

, (12)

 отора€ называетс€ секториальным моментом инерции. ѕри нашем выборе полюса и начальной точки отсчета из четырех геометрических величин, характеризующих сопротивление стержн€ искривлени€м (депланаци€м) его поперечного сечени€ в процессе стесненного кручени€, три величины обращатьс€ в ноль:

, , (13)

“аким образом, секториальный момент инерции остаетс€ единственной секториальной характеристикой, характеризующей сопротивл€емость тонкостенного стержн€ искривлени€ми поперечных сечени€ из их плоскости. ќпредел€ем величину :

¬ыше говорилось, что дл€ сечений, имеющих ось симметрии, положение главной нулевой секториальной точки заранее известно. »звестно также, что центр изгиба находитс€ на оси симметрии.

ќднако при выполнении данной расчетно-проектировочной работы использовать эти сведени€ при выборе полюса, то есть располагать его на оси симметрии. ѕодчеркнем, что одной из целей выполнени€ работы €вл€етс€ осознание студентом факта расположени€ центра изгиба на оси симметрии и методики его нахождени€ в общем случае дл€ несимметричного поперечного сечени€ тонкостенного стержн€ открытого профил€.

ƒл€ лучшего усвоени€ данной методики найдем и построим эпюру дл€ сечени€, изображенного на рис. 13.

ќдно из возможных положений полюса с учетом того, что на оси симметрии брать его при выполнении работы не рекомендуетс€, показано на рис. 17. «а начальную точку выбираетс€ люба€ точка отрезка или . ¬ этом случае дл€ выбранного полюса вид эпюры получаетс€ наиболее простым.

»спользу€ правило ¬ерещагина, получим:

Ќапомним, что эпюры и берутс€ на рис.13. ѕоложение центра изгиба , главной нулевой секториальной точки и эпюра приведены на рис.18.

ѕроводим проверки:

.

ѕроверки эпюры и положени€ центра изгиба выполнены.

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-29; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 813 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—амообман может довести до саморазрушени€. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

556 - | 448 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.025 с.