В обоих последних случаях округление производится всегда только в большую сторону, т.к. при округлении в меньшую сторону получится недостаточное количество испытуемых или попыток

Примечание: Если у «тренера» надежность r_АБ получится не ниже удовлетворительного уровня без удлинения теста, он может сразу переходить к выполнению работ IV этапа игры.

IV этап деловой игры вынесен на самостоятельную работу. Для его выполнения и оформления отчета необходимо пользоваться специальным методическим пособием для самостоятельной работы.

V этап деловой игры

Тема: Оценка эффективности методики тренировки.

Цели:

1. Ознакомиться с особенностями нормального закона распределения результатов тестирования.

2. Приобрести навыки по проверке выборочного распределения на нормальность.

3. Приобрести навыки оценки эффективности методики тренировки.

4. Научиться рассчитывать и строить доверительные интервалы для генеральных средних арифметических малых выборок.

Ситуация и организация игры на V этапе

На предыдущих этапах игры «тренеры» оценили надежность и информативность теста, выбранного ими для контроля за развитием у спортсменов скоростных качеств. В случае, если надежность и информативность теста оказывались достаточно высокими, они принимали решение о возможности приступить к тренировкам и применять указанный тест по назначению. Если же надежность и информативность оказывались неприемлемо низкими, «тренеры» подбирали более добротный тест и только после этого приступали к тренировкам.

На данном этапе «тренеры» занимаются определением эффективности тренировок с использованием предложенной методики ускоренного развития скоростных качеств у спортсменов. Кроме того, «тренеры» определяют, насколько улучшились скоростные качества спортсменов через определенный промежуток проведения интенсивных тренировок.

Допускается, что выбранный специальный тест с использованием падающих линеек оказался недобротным. Поэтому для более достоверной оценки скоростных качеств будет использоваться тест, описанный в I этапе игры как тест-критерий.

Перед началом тренировок «тренеры» тестируют спортсменов с целью определения у них исходного уровня развития скоростных качеств. Для этого каждый спортсмен выполняет тест. Результаты, показанные в ходе тестирования, обозначаются индексом Г.

После этого делается допущение, что прошло два месяца интенсивных тренировок, и появилась возможность оценить их эффективность. Поэтому «тренеры» через 10 минут отдыха после первого тестирования проводят повторное. Результаты повторного измерения у спортсменов показателя скоростных качеств, достигнутого якобы ими после тренировок, обозначаются индексом Д.

Имея в своем распоряжении результаты тестирования, «тренеры» проверяют выборки Г и Д на нормальность распределения и согласно полученным результатам выбирают для оценки эффективности тренировок либо параметрический критерий Стьюдента (если распределение нормальное), либо непараметрический критерий Уилкоксона (если распределение отличается от нормального). С помощью выбранного критерия «тренеры» оценивают эффективность тренировок. Для логической завершенности проделанной работы «тренеры» вычисляют доверительные интервалы для генеральных средних арифметических выборок Г и Д и строят графически их на числовой шкале.

Затем «тренеры» делают общий вывод и сдают отчет о проделанной работе.

Теоретические сведения

Оценка эффективности методики тренировки, используемой спортсменами для развития скоростных качеств, сводится к сравнению средних арифметических значений двух попарно зависимых выборок: выборки, образованной из результатов измерения у спортсменов величины показателя скоростных качеств перед началом двухмесячной тренировки и выборки, состоящей из результатов измерения величины этого показателя после упомянутых тренировок.

При этом возникает задача подбора критерия (математического аппарата), адекватного (соответствующего) свойствам сравниваемых выборок.

При решении этой задачи нужно учитывать объем выборок и закон, по которому распределяется выборка, составленная из разностей парных результатов измерений, взятых из вышеупомянутых двух выборок.

Если объем у обеих выборок мал и равен один другому (n₁ = n₂ = n; n < 30), то при нормальном законе распределения для сравнения средних значений выборок используется точный параметрический t-критерий Стьюдента для попарно зависимых выборок, а при отличающемся от нормального закона распределении – приближенный непараметрический U-критерий Уилкоксона для попарно зависимых выборок.

5.1. Нормальный закон распределения результатов измерений.

Нормальный закон (закон Гаусса) распределения результатов измерений непрерывных величин наиболее часто встречается в спортивной практике.

Нормальное распределение описывается формулой, впервые предложенной английским математиком Муавром в 1733 году:

(x_i - x _г)²

- – – – – –

1 2 s_г²

f(x) = – – – – * e, (5.1)

s_г Ö 2 p

где p и e – математические константы (p = 3,141; e = 2,718); x _г и s_г – соответственно, среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности; x_i – результаты измерений; f(x) – так называемая функция плотности распределения.

Эта формула позволяет получить в виде графика кривую нормального распределения (рис. 5.1), которая симметрична относительно центра группирования (как правило, это значение среднего арифметического x).

Эта кривая может быть получена из полигона распределения при бесконечно большом числе наблюдений и интервалов (см. рис. 2.1 II этапа игры).

Рис. 5.1. Кривая нормального распределения.

x_i - x _г

Введя обозначение U = – – –, которое называют нормированным или

s_г

стандартизованным отклонением, получают выражение для нормированного распределения:

U²

- – –

1 2

f(x) = – – – – * e. (5.2)

Ö 2 p

Рис. 5.2. Кривая нормированного распределения.

На рис. 5.2 представлен график этого выражения. Он примечателен тем, что для него x = 0 и s = 1 (результат нормировки). Вся площадь, заключенная под кривой, равна 1, т.е. она отражает все 100% результатов измерений. Теоретический и практический интерес представляет процент результатов, лежащих в различном диапазоне варьирования, или колеблемости.

5.2. Основные свойства кривой нормального распределения (рис. 5.1).

1 0,4

1. При x = x _г f(x) = – – – – = – – –.

s_гÖ 2 p s_г

2. При x ® ¥ f(x) ® 0.

3. Площадь, заключенная между кривой f(x) и осью x, равна единице.

4. Кривая имеет две точки перегиба при x = x ± s_г.

5.3. Влияние x _г и s_г на вид кривой нормального распределения.

1. Изменение среднего арифметического значения не меняет форму кривой, а приводит лишь к сдвигу кривой вдоль оси x: x ²_г > x ¹_г при s = const.

Рис. 5.3. Влияние x _г на вид кривой нормального распределения.

2. С увеличением s_г максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, при уменьшении s_гкривая становится более «островершинной». При любых значениях x _г и s_г площадь, ограниченная кривой и осью x, одинакова и равна единице.

В результате спортивной тренировки средняя арифметическая x _г должна улучшаться (в зависимости от вида спорта или увеличиваться, или уменьшаться), а стандартное отклонение s_г должно уменьшаться. С увеличением стабильности и устойчивости спортивных результатов, составляющих нормально распределенные выборки, кривая распределения становится более островершинной.

Рис. 5.4. Влияние s_г на вид кривой нормального распределения.

5.4. Вероятности попадания в области x _г ± s_г, x _г ± 2s_г, x _г± 3s_г. Правило трех сигм.

Правило трех сигм заключается в том, что практически все результаты, составляющие нормально распределенную выборку, находятся в пределах x _г± 3s_г. Это правило можно использовать при решении следующих важных задач:

1. Оценки нормальности распределения выборочных данных. Если результаты находятся примерно в пределах x _г± 3s_г и в области среднего арифметического результаты встречаются чаще, а вправо и влево от него – реже, то можно предположить, что результаты распределены нормально.

Рис. 5.5. Вероятность попадания результатов, составляющих нормально распределенную выборку, на заданный участок кривой:

0,6827 всех результатов попадает на участок от x _г- s_г до x _г+ s_г;

0,9545 всех результатов попадает на участок от x _г- 2s_г до x _г+2s_г;

0,9973 всех результатов попадает на участок от x _г- 3s_г до x _г+3s_г.

2. Выявление ошибочно полученных результатов. Если отдельные результаты отклоняются от среднего арифметического значения на величины, значительно превосходящие 3s, нужно проверить правильность полученных величин. Часто такие «выскакивающие» результаты могут появиться в результате неисправности прибора, ошибки в измерении и расчетах.

3. Оценка величины s. Если размах варьирования R=X_наиб- X_наим, разделить на 6, то мы получим грубо приближенное значение s. Задавшись процентом попаданий P%, можно найти область X ± U * s, где U – число сигм, согласно следующей таблице:

P%				99,9
U	1,64	1,96	2,58	3,29

5.5. Расчет доверительных интервалов для среднего значения.

5.5.1. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.

По найденным характеристикам выборки судят о неизвестных характеристиках генеральной совокупности. Очевидно, что в общем случае они не будут точно совпадать друг с другом: истинное значение характеристики Q может быть больше или меньше выборочного значения характеристики Q*.

Чтобы статистически оценить искомое истинное значение характеристики Q, поступают следующим образом:

1) Задаются некоторой достаточно большой вероятностью p (например, p = 0,9; 0,95; 0,99; 0,999), чтобы событие, заключающееся в нахождении искомого значения Q с этой вероятностью в соответствующем интервале можно было считать статистически достоверным. Эту вероятность называют доверительной вероятностью. В спортивных исследованиях обычно принимают p = 0,95 (иногда 0,99).

2) Затем для заданной величины p рассчитывают по формулам математической статистики нижнюю Q₁ и верхнюю Q₂ границы интервала J_p.

Доверительным интервалом J_p называют случайный интервал (Q₁, Q₂), который накрывает неизвестную характеристику Q с доверительной вероятность p.

Границы доверительного интервала J_p называют:

Q₁ = Q* - e₁ – нижней доверительной границей;

Q₂ = Q* - e₂ – верхней доверительной границей.

Значения e₁ и e₂ могут совпадать (при симметричном распределении Q*) и быть разными (при несимметричном распределении Q*). Они характеризуют точность, а вероятность p – надежность определения Q. Между надежностью и точностью существует обратная зависимость: чем выше надежность, тем ниже точность определения Q и наоборот.

С увеличением числа измерений при заданном p повышается точность определения Q (уменьшаются e₁ и e₂).

Для точного расчета границ доверительного интервала необходимо знать закон распределения выборочной характеристики Q*.

5.5.2. Доверительные интервалы для оценки среднего значения нормального распределения.

Задача определения доверительных интервалов для оценки генерального среднего арифметического значения x _г нормального распределения решена математической статистикой для следующих двух случаев:

а) генеральная дисперсия известна;

б) генеральная дисперсия неизвестна.

Рассмотрим второй случай.

В этом случае искомое генеральное среднее арифметическое находится в следующем доверительном интервале:

x - t_aS _x < x _г < x + t_aS _x,

где x – среднее арифметическое значение выборки; t_a – величина, которая находится по таблицам распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы k = n - 1, уровня значимости a; S _x – стандартная ошибка среднего арифметического, рассчитывается по формуле:

S _x = – –.

Ö n

Примечание: В практике научных исследований, когда закон распределения малой выборочной совокупности (n < 30) неизвестен или отличен от нормального, пользуются вышеприведенной формулой для приближенной оценки доверительных интервалов.

Порядок работы на V этапе

1. Проверить на нормальность распределения малую (n<30) выборку, составленную из разностей парных значений результатов измерений исходного показателя скоростных качеств у «стрелков» (эти результаты обозначены индексом Г) и показателя, достигнутого после двухмесячных тренировок (эти результаты обозначены индексом Д).

2. Выбрать критерий и оценить эффективность метода тренировки, используемого для ускоренного развития скоростных качеств у «стрелков».

3. Рассчитать и графически построить на числовой прямой доверительные интервалы генеральных средних арифметических выборок Г и Д.

Образец отчета о работе «тренера»

на V этапе деловой игры

V этап деловой игры

Тема: Оценка эффективности методики тренировки.

Цели:

1. Ознакомиться с особенностями нормального закона распределения результатов тестирования.

2. Приобрести навыки по проверке выборочного распределения на нормальность.

3. Приобрести навыки оценки эффективности методики тренировки.

Краткие теоретические сведения.

Примечание: В этом разделе отчета студент, внимательно прочитав теоретические сведения, в письменной форме отвечает на следующие вопросы:

1. Сущность метода оценки эффективности методики тренировки.

2. Нормальный закон распределения.

3. Основные свойства кривой нормального распределения.

4. Правило трех сигм.

5. Какие критерии и в каких случаях используются при проверке попарно зависимых выборок на нормальность распределения.

6. Что характеризует доверительный интервал? Методика его определения.

Анализ статистических данных.

Примечание: В качестве примера возьмем приведенные в табл. 5.1 результаты измерения показателя скоростных качеств у спортсменов до начала тренировок (они обозначены индексом Г) и после двух месяцев тренировки (они обозначены индексом Д).

Таблица 5.1. Показатели скоростных качеств спортсменов.

№ п/п
N_i^г, уд
N_i^Д, уд

От выборок Г и Д перейдем к выборке, составленной из разностей парных значений d_i = N_i^Д - N_i^Г и определим квадраты этих разностей. С этой целью по данным таблицы 5.1 составим расчетную таблицу 5.2.

Пользуясь табл. 5.2 найдем среднее арифметическое парных разностей:

Sd_i 43

d = – – – = – – – = 4,3 уд.

n 10

Таблица 5.2. Расчет квадратов парных разностей значений d_i².

№ п/п	N_i^г, уд	N_i^Д, уд	d_i = N_i^Д - N_i^Г, уд	d_i², уд²









			-9
			S = 4,3	S = 473

Далее рассчитаем сумму квадратов отклонений d_i от d по формуле:

(Sd_i)²4,3²

S(d_i - d)² = S d_i² - – – – = 473 - – – – = 288,1 уд².

n 10

Определим дисперсию для выборки d_i:

S(d_i - d)² 288,1

s_d² = – – – – – = – – – = 32,01 уд².

n - 1 9

После этого проверим при уровне значимости a=0,05 нулевую гипотезу о нормальном распределении выборки, составленной из разностей парных значений d_i, при конкурирующей гипотезе о ненормальном распределении. Для этого составим расчетную таблицу 5.3.

Порядок заполнения таблицы 5.3:

1. В первый столбец записываем номера по порядку.

Таблица 5.3. Данные расчета критерия Шапиро и Уилка W_набл для выборки, составленной из разностей парных значений d_i.

№ п/п	d_i, уд	k	d_{n - k + 1}-d_k=D_k	a_nk	D_k*a_nk
	-9		10 - (-9) = 19	0,5739	10,9041
			9 - 1 = 8	0,3291	2,6328
			8 - 1 = 7	0,2141	1,4987
			8 - 3 = 5	0,1224	0,612
			6 - 6 = 0	0,0399

2. Во второй – разности парных значений d_i в возрастающем порядке.

3. В третий – номера по порядку k парных разностей. Так как в нашем случае n = 10, то k изменяется от 1 до n/2 = 5.

4. В четвертый – разности D_k, которые находим таким образом:

– из самого большого значения d₁₀ вычтем самое малое d₁ и полученное значение запишем в строке для k = 1,

– из d₉ вычтем d₂ и полученное значение запишем в строке для k = 2 и т.д.

5. В пятый – записываем значения коэффициентов a_nk, взятые из таблицы, используемой в статистике для расчета критерия W порверки нормальности распределения для n = 10.

6. В шестой – произведение D_k*a_nk и находим сумму этих произведений:

b = S D_k*a_nk = 15,6476

b² = 244,8474

Наблюдаемое значение критерия W_набл находим по формуле:

b² 244,8474

W_набл = – – – – = – – – – = 0,850.

S(d_i - d)² 288,1

Проверим правильность выполнения расчетов критерия Шапиро и Уилка W_набл его расчетом на микроЭВМ МК-56 по следующей стандартной программе:

Стандартная программа для проверки выборочной совокупности на подчиненность нормальному закону распределения

1. Перейти в режим «Программирование» нажатием кнопок F, ПРГ.

2. Занести в память микроЭВМ программу:

Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
	x®П, 0			с/п			П®x, b	6L
	с/п			x®П, 9			+
	x®П, 1			с/п			x®П, b	4L
	с/п			x®П, a	4-		с/п
	x®П, 5			с/п			F, x²
	с/п						П®x, 0
	x®П, 6			x®П, 4			¸
	с/п			с/п			П®x, 1
	x®П, 7			-			¸
	с/п			К,П®x,4	Г4		с/п
	x®П, 8			х

3. Перейти в автоматический режим нажатием кнопок F, АВТ.

4. Занести исходные данные: набрать величину дисперсии и нажать кнопки в/о, с/п, количество результатов, уменьшенное на единицу, т.е. (n - 1) и с/п, коэффициенты a_nk, после каждого коэффициента нажать кнопку с/п.

5. После занесения всех исходных данных нажать кнопки БП, 16, с/п.

6. Набрать последнее и первое числа, разделив их командой В, нажать кнопки БП, 19, с/п.

7. Набрать предпоследнее и второе числа, разделив их командой В, нажать кнопки БП, 19, с/п.

8. Аналогичную процедуру проделать со всеми данными выборки.

9. После введения последней пары чисел нажать кнопку с/п. Полученный результат является наблюдаемым значением критерия W Шапиро и Уилка.

10. Для повторного использования программы нажать кнопки 0, х®П, b, прейти к пункту 4.

Расчет критерия Шапиро и Уилка W_набл на микроЭВМ МК-56 позволил установить, что:

W_набл = 0,850.

Такой результат подтверждает правильность проделанного ранее определения критерия Шапиро и Уилка W_набл с помощью расчетной таблицы 5.3.

Далее по табл. 5.4 ищем W_крит для n = 10.

Таблица 5.4. Критические точки распределения W-критерия Шапиро и Уилка при a = 0,05.

n
W_крит	0,764	0,748	0,762	0,788	0,803	0,818	0,829	0,842

Находим, что W_крит = 0,842. Сравним величины W_крит и W_набл. Делаем вывод: так как W_набл (0,850) > W_крит (0,842), должна быть принята гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности d_i. Следовательно можно считать, что полученные после двухмесячных тренировок изменения показателя скоростных качеств у спортсменов имеют нормальное распределение. Генеральные дисперсии выборок Г и Д неизвестны. Поэтому для оценки эффективности применявшейся методики развития скоростных качеств, следует использовать параметрический t - критерий Стьюдента:

½ d ½Ö n S(d_i - d)²

t_набл = – – – –, где s_d = – – – –

s_d Ö n - 1

Проверка эффективности применявшейся методики тренировки

При a = 0,05 выдвинем нулевую гипотезу об отсутствии различия между средним исходным показателем скоростных качеств N^Г и средним показателем скоростных качеств N^Д, достигнутым после двух месяцев тренировок (H₀: d_ген = 0) и конкурирующую гипотезу о наличии разницы между ними (H₁: d_ген > 0). Предположение об ухудшении скоростных качеств после тренировок, т.е. о том, что d_ген < 0, в данном случае лишено здравого смысла, поэтому мы имеем дело с односторонней критической областью.

Ранее мы получили, что s_d² = 32,01 уд². Следовательно,

s_d = Ö s_d² = Ö 32,01 = 5,66 уд.

Наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента равно:

½ d ½Ö n 4,3 * 3,16

t_набл = – – – – = – – – – – = 2,4.

s_d 5,66

По табл. 5.5 ищем t_крит для a = 0,05 и числа степеней свободы k = n - 1 = 10 - 1 = 9.

Таблица 5.5. Критические значения t-критерия Стьюдента при a = 0,05 для односторонней критической области.

k
t_крит	6,31	2,92	2,35	2,13	2,01	1,94	1,89	1,86	1,83	1,81

Находим, что t_крит = 1,83. Сравнение t_крит и t_набл позволяет сделать вывод: так как t_крит (2,4) > t_набл (1,83), с надежностью более 95% (a = 0,05) должна быть принята конкурирующая гипотеза (H₁: d_ген > 0). Следовательно, применение данной методики развития скоростных качеств у спортсменов эффективно. Средний исходный показатель скоростных качеств статистически достоверно увеличился на 4,3 удара.

Расчет и построение доверительного интервала для генеральной средней арифметической

Так как распределение выборки d, составленной из разностей парных значений, согласуется с нормальным законом распределения, а генеральная дисперсия d_i неизвестна, точные значения границ доверительного интервала для d_ген, найдем из следующего двойного неравенства:

X - t_aS _X < X _ген< X + t_aS _X.

Для рассматриваемой задачи оно будет иметь вид:

d - t_aS _d < d _ген < d + t_aS _d.

По таблице Стьюдента мы нашли, что для уровня значимости a = 0,05, числа степеней свободы k = n - 1 = 10 - 1 = 9 и двухсторонней критической области t_a = 2,26.

Стандартную ошибку среднего арифметического найдем по формуле:

s_d 5,66

S _d = – – – = – – – = 1,79 ударов.

Ö n 3,16

Доверительный интервал для среднего арифметического прироста количества ударов за 10 с в генеральной совокупности равен:

4,3 – 2,26 * 1,79 < d _ген< 4,3 + 2,26 * 1,79

4,3 – 4,0 < d _ген< 4,3 + 4,0

0,3 уд < d _ген< 8,3 уд

Следовательно, с доверительной вероятностью P = 0,95 можно утверждать, что в результате тренировки улучшение показателя скоростных качеств d _генбудет находиться в пределах от 0,3 до 8,3 ударов за 10 с.

Для построения доверительного интервала необходимо выбрать масштаб. С этой целью найдем размах варьирования d _ген: 8,3 - 0,3 = 8,0 уд. Выберем масштаб 1 уд – 1 см.

Доверительный интервал для d _ген

Вариант 2: критерий непараметрический

Примечание: в качестве примера воспользуемся приведенными в табл. 5.6 результатами измерения показателя скоростных качеств у спортсменов перед началом тренировок (они обозначены индексом Г) и после двухмесячных тренировок (они обозначены индексом Д).

Таблица 5.6. Показатели скоростных качеств спортсменов.

№ п/п
N_i^г, уд
N_i^Д, уд

От выборок Г и Д перейдем к выборке, составленной из разностей парных значений d_i = N_i^Д - N_i^Г и определим квадраты этих разностей. С этой целью по данным таблицы 5.6 составим расчетную таблицу 5.7.

Таблица 5.7. Расчет квадратов парных разностей значений d_i².

№ п/п	N_i^г, уд	N_i^Д, уд	d_i = N_i^Д - N_i^Г, уд	d_i², уд²
			-11
			-16
			-3





			-16

			S = 33	S = 1723

Пользуясь табл. 5.7 найдем среднее арифметическое парных разностей:

Sd_i 33

d = – – – = – – – = 3,3 уд.

n 10

Далее рассчитаем сумму квадратов отклонений d_i от d по формуле:

(Sd_i)²33²

S(d_i - d)² = S d_i² - – – – = 1723 - – – – = 1614,1 уд².

n 10

Определим дисперсию для выборки d_i:

S(d_i - d)² 1614,1

s_d² = – – – – = – – – = 179,3 уд².

n - 1 9

Таблица 5.8. Данные расчета критерия Шапиро и Уилка W_набл для выборки, составленной из разностей парных значений d_i.

№ п/п	d_i, уд	k	d_{n - k + 1}-d_k=D_k	a_nk	D_k*a_nk
	-16		16 - (-16) = 32	0,5739	18,3648
	-16		16 - (-16) = 32	0,3291	10,5312
	-11		15 - (-11) = 26	0,2141	5,5666
	-3		12 - (-3) = 15	0,1224	1,836
			10 - 10 = 0	0,0399

Порядок заполнения таблицы 5.8:

1. В первый столбец записываем номера по порядку.

2. Во второй – разности парных значений d_i в возрастающем порядке.

3. В третий – номера по порядку k парных разностей. Так как в нашем случае n = 10, то k изменяется от 1 до n/2 = 5.

4. В четвертый – разности D_k, которые находим таким образом:

– из самого большого значения d₁₀ вычтем самое малое d₁ и полученное значение запишем в строке для k = 1,

– из d₉ вычтем d₂ и полученное значение запишем в строке для k = 2 и т.д.

6. В шестой – произведение D_k*a_nk и находим сумму этих произведений:

b = S D_k*a_nk = 36,2986

b² = 1317,588

Наблюдаемое значение критерия W_набл находим по формуле:

b² 1317,588

W_набл = – – – – = – – – – = 0,816.

S(d_i - d)² 1614,1

Проверим правильность выполненных расчетов критерия Шапиро и Уилка W_набл его расчетом на микроЭВМ МК-56 по стандартной программе (см. программу в образце для 1-го варианта). Проверочный расчет позволил установить, что

W_набл = 0,816.

Такой результат подтверждает правильность определения критерия Шапиро и Уилка W_набл с помощью расчетной таблицы 5.8.

Далее по табл. 5.4 ищем W_крит для n = 10. Находим, что W_крит = 0,842. Сравним величины W_крит и W_набл. Делаем вывод: так как W_набл (0,816) < W_крит (0,842), должна быть принята гипотеза о распределении генеральной совокупности d_i отличном от нормального. Генеральные дисперсии выборок Г и Д неизвестны, выборки попарно зависимы. Поэтому для оценки эффективности применявшейся методики развития скоростных качеств, следует использовать непараметрический U - критерий Уилкоксона.

Проверка эффективности применявшейся методики тренировки

Заменим разности парных значений d_i их рангами в соответствии с табл. 5.9. При определении ранга знак разности не учитывается, а нулевые значения отбрасываются. Самая малая по абсолютной величине разность получает первый ранг, следующая – второй и т.д. Одинаковым по абсолютной величине разностям присваиваются одинаковые ранги, равные среднему арифметическому рангу.

Таблица 5.9. Ранги разности парных значений d_i.

d_i	-16	-16	-11	-3
Ранги	8,5	8,5			2,5	2,5			8,5	8,5

Найдем сумму рангов положительных разностей:

U₁ = 2,5 + 2,5 + 5 + 6 + 8,5 + 8,5 = 33.

Затем подсчитаем сумму рангов для отрицательных разностей:

U₂ = 1 + 4 + 8,5 + 8,5 = 22.

Из двух полученных сумм выбираем наименьшую. Она и будет наблюдаемым значением критерия Уилкоксона:

U_набл = 22.

По таблице 5.10 ищем U_крит для n = 10. Находим, что U_крит = 9. Сравним величины U_набл и U_крит, делаем вывод: так как U_набл(22) > U_крит (9), с надежностью более 95% должна быть принята основная гипотеза о том, что генеральная средняя показателя скоростных качеств у спортсменов после двух месяцев тренировок не больше, чем до тренировок, т.е. d_ген = 0. Следовательно, применявшаяся методика тренировок не эффективна.

Таблица 5.10. Критические точки распределения U-критерия Уилкоксона при a = 0,05

N
U_крит

Расчет и построение доверительного интервала для d _ген.

Так как закон распределения выборки d_i не согласуется с нормальным законом, найти точные значения границ доверительного интервала не представляется возможным. Найдем приближенные значения границ доверительного интервала для d _ген, воспользовавшись следующим двойным неравенством, полученным для нормального закона распределения и неизвестной генеральной дисперсии:

X - t_aS _X < X _ген< X + t_aS _X.

Для рассматриваемой задачи оно будет иметь вид:

d - t_aS _d < d _ген < d + t_aS _d.

По таблице Стьюдента (табл. 5.5) находим, что для уровня значимости a = 0,05, числа степеней свободы k = n - 1 = 10 - 1 = 9 и односторонней критической области t_a = 1,83.

Стандартную ошибку среднего арифметического найдем по формуле:

s_d 13,39

S _d = – – – = – – – = 4,24 ударов.

Ö n 3,16

3,3 – 2,26 * 4,24 < d _ген< 3,3 + 2,26 * 4,24

3,3 – 9,6 < d _ген< 3,3 + 9,6

-6,3 уд < d _ген< 12,9 уд

Следовательно, можно приближенно утверждать, что доверительный интервал d _генбудет находиться в пределах от –6,3 до 12,9 ударов.

Для построения доверительного интервала необходимо выбрать масштаб. С этой целью найдем размах варьирования d _ген: 12,9 - (-6,3) = 19,4 уд. Выберем масштаб 3 уд – 1 см.

Доверительный интервал для d _ген

Литература:

1. М.А. Годик. Спортивная метрология. Учебник для ин-тов физической культуры. – М.: Физкультура и спорт, 1988.

2. Основы математической статистики. Уч. пособие для ин-тов физической культуры (под общ. ред. В.С. Иванова). – М.: Физкультура и спорт, 1990.

3. Спортивная метрология. Учебник для ин-тов физической культуры (под общ. ред. В.М. Зациорского). М.: Физкультура и спорт, 1982.

4. Г.И. Гинзбург, В.Г. Киселев. Расчетно-графические работы по спортивной метрологии. – Минск: БГИФК, 1984.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.................................................................................................. 3

1. Контроль и измерения в спорте.....……………………............................6

1.1. Контроль в физическом воспитании и спорте............................6

1.2. Основы теории тестов.................................................................. 7

1.3. Основные понятия теории измерений.........................................8

1.3.1. Шкалы измерений............................................................8

1.3.2. Единицы измерений........................................................10

1.3.3. Точность измерений....................................................... 10

Игровая ситуация и организация игры на I этапе..............................12

Порядок работы на I этапе.................................................................. 15

Образец отчета о I этапе деловой игры.............................................. 15

2. Статистические методы обработки результатов измерений...................17

2.1. Составление рядов распределения и их графические представления..................................................................................18

2.2. Основные статистические характеристики выборки..................22

Порядок работы на II этапе................................................................ 24

Образец отчета о работе на II этапе деловой игры............................ 25

3. Оценка надежности теста для контроля за развитием скоростных качеств.…………….......................................................................................29

3.1. Основы теории корреляции......................................................... 29

3.1.1. Функциональная и статистическая взаимосвязи........... 29

3.1.2. Корреляционное поле......................................................30

3.1.3. Оценка тесноты взаимосвязи......................................... 31

3.1.4. Направленность взаимосвязи..........................................33

3.1.5. Методы вычисления коэффициентов взаимосвязи........34

3.2. Основы теории проверки статистических гипотез......................35

3,2,1, Статистические критерии проверки нулевых гипотез...36

3.2.2. Основной принцип проверки статистических гипотез..36

3.2.3. Односторонние и двусторонние критические области..36

3.2.4. Уровень значимости a................................................... 37

3.2.5. Параметрические и непараметрические методы статистической проверки гипотез........................................ 37

3.3. Надежность тестов....................................................................... 37

3.3.1. Понятие о надежности тестов........................................ 37

3.3.2. Стабильность теста......................................................... 39

3.3.3. Согласованность теста.................................................... 39

3.3.4. Эквивалентность теста................................................... 40

3.3.5. Пути повышения надежности теста............................... 41

Образец отчета на III этапе игры........................................................ 41

5. Оценка эффективности методики тренировки.……………………........47

Ситуация и организация игры на V этапе..........................................47

5.1. Нормальный закон распределения результатов измерений........48

5.2. Основные свойства кривой нормального распределения...........50

5.3. Влияние x _г и s_г на вид кривой нормального распределения......50

5.4. Вероятности попадания в области x _г ± s_г, x _г ± 2s_г, x _г± 3s_г. Правило трех сигм..........................................................................51

5.5. Расчет доверительных интервалов для среднего значения....... 52

5.5.1. Доверительный интервал. Доверительная вероятность........................................................................... 52

5.5.2. Доверительные интервалы для оценки среднего значения нормального распределения................................................. 53

Порядок работы на V этапе................................................................ 53

Образец отчета о работе «тренера» на V этапе деловой игры.......... 54

Литература……………………………………………………………...65