Математическое описание случайных погрешностей

Измеряемая величина, содержащая случайную погрешность, должна рассматриваться как случайная величина. Из теории вероятностей известно, что наиболее полно случайные величины характеризуются законами распределения вероятностей.
Плотность распределения вероятностей

, (1.13)

где F(x)– вероятность значений случайной величины х в интервале dx.

Наряду с плотностью распределения вероятностей используется функция распределения вероятностей случайной величины

, (1.14)

которая выражает собой вероятность того, что случайная величина находится в интервале от -¥ до x ₁. Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией, определенной так, что F (-¥)=0, а F(+ ¥) = 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале между x ₁ и x ₂, равна

(1.15)

В разнообразных измерительных устройствах законы распределения вероятностей различны. Преимущественно встречаются нормальные и равномерные распределения. Случайная величина X распределена нормально, если её плотность вероятностей имеет вид

(1.16).

где s - среднее квадратическое отклонение, m =M[Х];

m - математическое ожидание.
Математическое ожидание M[X] случайной величины X является постоянной величиной и характеризует её среднее значение. Величина является случайной погрешностью. Если систематическая погрешность отсутствует, то математическое ожидание равно истинному значению величины X.

На рис. I.I, а показана дифференциальная функция нормального распределения f(x). Рассеяние результатов вокруг M[ х ] уменьшаетcя с уменьшением s. При расчетах пользуются нормированным нормальным распределением, когда нормируется случайная величина:

(1.17)

где нормированная случайная величина. Интеграл

(1.18)

Рис.1.1,а

выражает вероятность попадания случайной погрешности в интервал 0– t ₁ и носит название функции Лапласа. Значения f(t) и Р(t ₁) приводятся в табл. I и 2 приложения. Из табл. 2 приложения можно найти, что вероятность появления случайной погрешности в интервалах ± t ₁ = = ± 1; ±2; ± 3 c учетом симметричности распределения равна соответственно 0,683, 0,954, 0,997. Эти цифры характеризуют вероятность появления случайной погрешности в интервалах ±s'; ±2s;'±3s. Если случайные погрешности определяются по результатам измерений, то в большинстве случаев они имеют нормальное распределение.

при

Равномерное распределение, показанное на рис. 1.1,б, записывается в виде:

(1.19)

при

)

(

Вероятность появления погрешности в интервале x ₄- x ₃ равна

Равномерное распределение имеет погрешность квантования измеряемой величины по уровню в цифровых измерительных приборах.

Если закон распределения неизвестен, то всегда принимают равномерное распределение.

В измерительной практике встречаются и другие законы распределения, которыми в [6] рекомендуется аппроксимировать реальные законы распределений: треугольный, трапециевидный, антимодальные I и II, Рэлея.

Для решения многих задач не требуется знание функции и плотности распределения вероятностей, а вполне достаточными характеристиками случайных погрешностей служат их числовые характеристики: математическое ожидание (первый начальный момент)

(I.20)
и дисперсия (второй центральный момент)

(1.21)

Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, есть среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Математическое ожидание является центром группирования случайной величины, а дисперсия характеризует мощность рассеяния.

Нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией.

Равномерное распределение (рис I.I,б) тоже определяется двумя параметрами M[ x ]и x_т.

Дисперсия равномерного распределения

(1.22)

а среднее квадратическое отклонение

Вероятность появления случайной погрешности в интервале ±s составляет р= s/ x _m=0.578.

Числовые вероятностные характеристики погрешностей, представляющие собой неслучайные величины, теоретически определяются при бесконечном числе наблюдений. Практически число наблюдений n всегда ограничено. Поэтому реально пользуются статистическими числовыми характеристиками, которые принимают за искомые вероятностные характеристики и называют оценками характеристик. Чтобы подчеркнуть различие между формулами вероятностных характеристик и их оценок, последние отмечают знаком ~.

К оценкам случайной величины, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка параметра Q считается состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины:

Несмещенной она называется в том случае, если математическое ожидание её равно истинному значению оцениваемой величины: .

Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной ее называют .

Обычно для симметричных распределений в качестве оценки математического ожидания ряда равноточных наблюдений принимают среднее арифметическое ряда наблюдений п:

(1.23)

где q _i - результат i наблюдения; п - число наблюдений.

Если отсутствует систематическая погрешность, то при .

Разность представляет собой случайную погрешность при i -м наблюдении. Она может быть как положительной, так и отрицательной.

Среднее арифметическое, независимо от закона распределения, обладает следующими свойствами:

(I.24)

(1.25)

Первое свойство используется для проверки правильности вычисления , а второе положено в основу метода наименьших квадратов.

В качестве оценки дисперсии берётся дисперсия отклонения результата наблюдения

, (1.26)

а оценки среднего квадратического отклонения

. (1.27)

Формула (1.27) характеризует среднее квадратическое отклонение отдельного наблюдения.

Для вычислений абсолютной погрешности требуется найти разность между результатом наблюдения Q_i и истинным значением измеряемой величины Q_ист. Но Q_ист никогда неизвестно, поэтому, как уже отмечалось, на практике пользуются действительным значением измеряемой величины. При достаточно большом числе наблюдений, не искаженных систематической погрешностью, в качестве действительного значения можно принять среднее арифметическое результатов наблюдений и принять его за результат измерения.

Среднее арифметическое зависит от числа наблюдений и является случайной величиной с некоторой дисперсией относительно истинного значения величины Q_ист, т.е. величину можно рассматривать как оценку Q_ист, т.е. .

В теории вероятностей показывается, что оценкой дисперсии среднего арифметического ряда наблюдений относительно истинного значения является

(1.28)

Величину называют средним квадратическим отклонением результата измерений.

Следовательно, взяв за результат измерения , уменьшаем среднее квадратическое отклонение в раз по сравнению со случаем, когда за результат измерения принимается любое одно из п наблюдений. Из полученных выражений видно, что многократные измерения с последующим усреднением результатов позволяют уменьшить случайную составляющую погрешности, а также оценить её.