Измеряемая величина, содержащая случайную погрешность, должна рассматриваться как случайная величина. Из теории вероятностей известно, что наиболее полно случайные величины характеризуются законами распределения вероятностей.
Плотность распределения вероятностей
, (1.13)
где F(x)– вероятность значений случайной величины х в интервале dx.
Наряду с плотностью распределения вероятностей используется функция распределения вероятностей случайной величины
, (1.14)
которая выражает собой вероятность того, что случайная величина находится в интервале от -¥ до x 1. Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией, определенной так, что F (-¥)=0, а F(+ ¥) = 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале между x 1 и x 2, равна
(1.15)
В разнообразных измерительных устройствах законы распределения вероятностей различны. Преимущественно встречаются нормальные и равномерные распределения. Случайная величина X распределена нормально, если её плотность вероятностей имеет вид
(1.16).
где s - среднее квадратическое отклонение, m =M[Х];
m - математическое ожидание.
Математическое ожидание M[X] случайной величины X является постоянной величиной и характеризует её среднее значение. Величина 
является случайной погрешностью. Если систематическая погрешность отсутствует, то математическое ожидание равно истинному значению величины X.
На рис. I.I, а показана дифференциальная функция нормального распределения f(x). Рассеяние результатов вокруг M[ х ] уменьшаетcя с уменьшением s. При расчетах пользуются нормированным нормальным распределением, когда нормируется случайная величина:
(1.17)
где 
нормированная случайная величина. Интеграл
(1.18)
Рис.1.1,а
выражает вероятность попадания случайной погрешности в интервал 0– t 1 и носит название функции Лапласа. Значения f(t) и Р(t 1) приводятся в табл. I и 2 приложения. Из табл. 2 приложения можно найти, что вероятность 
появления случайной погрешности в интервалах ± t 1 = 
= ± 1; ±2; ± 3 c учетом симметричности распределения равна соответственно 0,683, 0,954, 0,997. Эти цифры характеризуют вероятность появления случайной погрешности в интервалах ±s'; ±2s;'±3s. Если случайные погрешности определяются по результатам измерений, то в большинстве случаев они имеют нормальное распределение.
Равномерное распределение, показанное на рис. 1.1,б, записывается в виде:
(1.19)
Вероятность появления погрешности в интервале x 4- x 3 равна
Равномерное распределение имеет погрешность квантования измеряемой величины по уровню в цифровых измерительных приборах.
Если закон распределения неизвестен, то всегда принимают равномерное распределение.
В измерительной практике встречаются и другие законы распределения, которыми в [6] рекомендуется аппроксимировать реальные законы распределений: треугольный, трапециевидный, антимодальные I и II, Рэлея.
Для решения многих задач не требуется знание функции и плотности распределения вероятностей, а вполне достаточными характеристиками случайных погрешностей служат их числовые характеристики: математическое ожидание (первый начальный момент)
(I.20)
и дисперсия (второй центральный момент)
(1.21)
Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, есть среднее квадратическое отклонение случайной величины 
.
Математическое ожидание является центром группирования случайной величины, а дисперсия характеризует мощность рассеяния.
Нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией.
Равномерное распределение (рис I.I,б) тоже определяется двумя параметрами M[ x ]и xт.
Дисперсия равномерного распределения
(1.22)
а среднее квадратическое отклонение 
Вероятность появления случайной погрешности в интервале ±s составляет р= s/ x m=0.578.
Числовые вероятностные характеристики погрешностей, представляющие собой неслучайные величины, теоретически определяются при бесконечном числе наблюдений. Практически число наблюдений n всегда ограничено. Поэтому реально пользуются статистическими числовыми характеристиками, которые принимают за искомые вероятностные характеристики и называют оценками характеристик. Чтобы подчеркнуть различие между формулами вероятностных характеристик и их оценок, последние отмечают знаком ~.
К оценкам случайной величины, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.
Оценка параметра Q считается состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины: 
Несмещенной она называется в том случае, если математическое ожидание её равно истинному значению оцениваемой величины: 
.
Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной ее называют 
.
Обычно для симметричных распределений в качестве оценки математического ожидания ряда равноточных наблюдений принимают среднее арифметическое ряда наблюдений п:
(1.23)
где q i - результат i наблюдения; п - число наблюдений.
Если отсутствует систематическая погрешность, то при 
.
Разность 
представляет собой случайную погрешность при i -м наблюдении. Она может быть как положительной, так и отрицательной.
Среднее арифметическое, независимо от закона распределения, обладает следующими свойствами:
(I.24)
(1.25)
Первое свойство используется для проверки правильности вычисления 
, а второе положено в основу метода наименьших квадратов.
В качестве оценки дисперсии берётся дисперсия отклонения результата наблюдения
, (1.26)
а оценки среднего квадратического отклонения
. (1.27)
Формула (1.27) характеризует среднее квадратическое отклонение отдельного наблюдения.
Для вычислений абсолютной погрешности требуется найти разность между результатом наблюдения Qi и истинным значением измеряемой величины Qист. Но Qист никогда неизвестно, поэтому, как уже отмечалось, на практике пользуются действительным значением измеряемой величины. При достаточно большом числе наблюдений, не искаженных систематической погрешностью, в качестве действительного значения можно принять среднее арифметическое результатов наблюдений 
и принять его за результат измерения.
Среднее арифметическое зависит от числа наблюдений и является случайной величиной с некоторой дисперсией относительно истинного значения величины Qист , т.е. величину 
можно рассматривать как оценку Qист, т.е. 
.
В теории вероятностей показывается, что оценкой дисперсии среднего арифметического ряда наблюдений относительно истинного значения является
(1.28)
Величину 
называют средним квадратическим отклонением результата измерений.
Следовательно, взяв за результат измерения , уменьшаем среднее квадратическое отклонение в 
раз по сравнению со случаем, когда за результат измерения принимается любое одно из п наблюдений. Из полученных выражений видно, что многократные измерения с последующим усреднением результатов позволяют уменьшить случайную составляющую погрешности, а также оценить её.
