Задача, решаемая по формуле полной вероятности

Пример: В ящике содержатся детали, изготовленные на девяти заводах в количестве , среди которых имеются дефектные детали в количестве . Детали первых семи заводов окрашены соответственно в семь цветов, а восьмой и девятый − в белый и черный. Наудачу из ящика извлекается деталь. Найти вероятность того, что деталь окажется дефектной (событие А).

Решение: Общее число возможных элементарных исходов: . Число благоприятствующих исходов (количество дефектных деталей): . Тогда

или

.

Проведем тождественное преобразование

.

Отметим, что , − вероятность появления дефектной детали среди деталей -го цвета (при условии, что детали изготовлялись на конкретном -м заводе), т.е. для такой условной вероятности вводятся обозначения − вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие наступило. Таким образом, искомая формула принимает вид:

или

,

что составляет содержание «формулы полной вероятности»: вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А. Очевидно, что

.