Задача, приводящая к теореме об умножении вероятностей независимых событий

Пример: Блок собирается из различных деталей находящихся в отдельных ящиках . В каждом из этих ящиков содержится деталей, из которых деталей качественных. Наудачу из каждого ящика извлекается одна деталь. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся качественными, т.е. блок будет собран из качественных деталей (событие А).

Решение: Общее число возможных элементарных исходов (соединений): . Число возможных благоприятных исходов (соединений) находится аналогично: .

Тогда

или

Очевидно, что вероятность извлечения качественной детали из -го ящика (событие ) находится по определению:

.

Тогда

или

,

что составляет содержание теоремы об умножении вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

,

где

.

Пример: В партии из деталей имеется качественных ( дефектных). Наудачу отобраны деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей качественных ( дефектных).

Решение: Общее число возможных элементарных исходов (число способов), которыми можно извлечь деталей из партии в деталей): . Число благоприятствующих исходов находится в соответствии с использованным выше главным принципом комбинаторики [ ]:

,

где − число способов, которыми можно составить качественных деталей в отобранной группе из качественных деталей в партии,

− число способов, которыми составляются дефектных деталей группы из дефектных деталей партии. Тогда

.

Отметим, что приведенная формула определяет гипергеометрический закон распределения дискретной случайной величины.