Пример: Пусть в распоряжении конструктора имеется четыре взаимозаменяемых блока (элемента): 
. Конструктивный узел состоит из трех блоков. Требуется найти множество конструктивных схем узла, отличающихся между собой как составом блоков, так и порядком их следования.
Упорядоченные наборы, состоящие из 
элементов (подмножества), взятых из множества 
элементов 
, отличающиеся хотя бы одним элементом (составом) и порядком их следования (расположением) называются размещениями (Arrangement), а их количество обозначается в виде 
− число размещений из элементов по . Искомые упорядоченные наборы − конструктивные схемы, удобно находить с помощью следующих цепных диаграмм
Откуда непосредственно находится искомое множество конструктивных схем узла и их количество 
как число размещений из 
по 
:
или
т.е.
.
Методом математической индукции легко получить общую формулу
.
В частном случае, когда 
, упорядоченные наборы (подмножества) отличаются между собой лишь порядком следования элементов − их расположением в наборе. Состав элементов в наборе − неизменен. Такие упорядоченные соединения элементов в группы называются перестановками (Permutation) и их количество обозначается в виде 
− число перестановок из элементов. Очевидно, что
, или 
, т.е. 
.
Упорядоченные наборы, состоящие из элементов, взятых из элементов , отличающиеся между собой лишь составом (хотя бы одним элементом), а порядок следования элементов − произволен (несущественен), называются сочетаниями (Combination), а их количество обозначается в виде 
− число сочетаний из элементов по .
Так как размещения включают перестановки и сочетания, то очевидно
.
Действительно, из приведенной диаграммы нетрудно найти группы элементов, образующих сочетания из четырех по три, т.е. 
.
Производя перестановки трех элементов 
в каждом из этих сочетаний , получим все размещения 
, приведенные на диаграмме в виде матрицы состояний, где количество строк определяется числом перестановок, а количество столбцов − числом сочетаний:
т.е. 
.
Откуда следует формула для числа сочетаний:
или в развернутом виде:
.
Учитывая, что 
, искомым формулам можно придать лаконичный вид:
, 
.
Пример: В ящике деталей, из них 
дефектных. Наудачу извлечены
деталей. Найти вероятность того, что все извлеченные детали качественны.
Решение: Общее число возможных элементарных исходов: . Число элементарных исходов, благоприятствующих появлению искомого случайного события 
− извлеченных деталей качественны: 
.
Тогда
.
Пример: В ящике находится семь блоков, обозначенные 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, из которых в определенной очередности собирается узел. Известно, что блоки и , а также и − взаимозаменяемые. С учетом взаимозаменяемости, номерам блоков присвоены буквы следующим образом: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Узел будет правильно функционировать (правильно собран), если блоки последовательно разместить в очередности, имеющей закодированное слово «бабушка». Найти вероятность того, что наудачу извлеченные блоки расположатся в порядке, при котором узел будет собран правильно, т.е. в результате испытания составится последовательность букв, имеющих смысл − «бабушка».
Решение: Общее число возможных элементарных исходов: 
, т.е. 5040. исходы благоприятствующих появлению искомого слова следующие:
Таким образом
.
