Система из параллельно соединенных элементов

Примером такой системы является двухцепная линия электропередачи, либо резервирование снабжения потребителя от близлежащих источников. Такая система отказывает только при повреждении обеих цепей ЛЭП, либо при совместном отключении обоих источников.

Рассмотрим систему из двух параллельно включенных элементов. Если каждый элемент обладает 100%-й пропускной способностью, что в общем то соответствует реальным условиям выбора и работы электрооборудования, то такая система остается работоспособной и в случае отказа одного элемента. Система может находиться в трех состояниях: 0- исправное, когда оба элемента не повреждены; 1- рабочее, когда поврежден один из элементов; 2- исправное, когда повреждены оба элемента.

 

Диаграмма, поясняющая процесс работы и различных состояний системы, приведена на рис. 8.2

 

Рис. 8.2 Диаграмма переходов системы в различные состояния.

 

Интервалы времени и соответствуют периодам отказов соответственно элементов А и В.

Нетрудно уяснить, что до наступления первого отказа элемента А система находится в состоянии 0. После отказа первого элемента система переходит в состояние 1, т.к. элемент В не поврежден. Элемент А восстанавливается в течение времени, но в этом интервале происходит отказ элемента В, система переходит в состояние 2 и остается в этом состоянии в течение времени до восстановления элемента А, после чего она переходит в состояние 1. Одновременно с восстановлением элемента В система возвращается в исходное состояние 0.

В дальнейшем система дважды переходит в состояние 1 при отказах элемента А и В ( и ) и вновь возвращается в исправное состояние после восстановления этих элементов.

Третьи отказы элементов А и В совмещены по времени и длительности восстановления элементов одинаковы (). В этом случае система сразу же переходит в состояние 2 и возвращается в исправное (0) с восстановлением обоих элементов.

Коэффициент готовности резервированной системы определится вероятностями нахождения этой системы в состоянии 0 и состоянии 1.

 

(8.15)

 

Матрица вероятностей переходов для такой системы будет иметь вид:

 

 

(8.16)

 

 

Матрица (8.16) составляется из следующих рассуждений:

а) первый столбец матрицы соответствует вероятности перехода системы в состояние 0 из состояний 2 и 1, сохранению ее в исправном состоянии;

б) второй столбец матрицы описывает процессы перехода системы в рабочее состояние из состояний 0 и 2 и вероятность нахождения системы в состоянии 1;

в) третий столбец матрицы представляет переходы системы в состояние 2 и вероятности сохранения неисправного состояния.

Система останется в исправном состоянии, если оба элемента не откажут за интервал . Вероятность этого события .

Система с вероятностью переходит из состояния 1 в состояние 0, а вероятность совмещения отказов обоих элементов пренебрежимо мала .

С вероятностью система переходит из состояния 0 в состояние 1и остается в этом состоянии с вероятностью . Вероятность перехода системы из неисправного состояния в рабочее оценивается величиной .

Вероятность перехода системы из состояния 2 сразу же в состояние 0 пренебрежимо мала . С вероятностью система переходит из неисправного состояния 2 в рабочее состояние 1. Система остается в неисправном состоянии с вероятностью .

Из матрицы вероятностных переходов получаем систему дифференциальных уравнений:

 

(8.17)

 

Используя преобразования Лапласса в предположении исправного состояния системы в начальный момент времени, т.е. принимая , , получаем систему уравнений:

 

(8.18)

 

 

Вероятности нахождения в различных состояниях системы определим, используя правило Крамера:

 

 

 

 

 

 

После преобразования получаем:

 

 

Обратное преобразование Лапласса дает вероятность исправного состояния системы:

 

(8.19)

 

Аналогично получаем значения вероятности

 

 

Отображение этой функции

 

(8.20)

 

 

Коэффициент готовности системы определяется суммой вероятностей

 

(8.21)

 

Если система проработала длительное время, в частности при , то два последние члена в выражениях и стремятся к нулю и эти выражения принимают вид:

 

; (8.22)

 

Тогда и будут равны:

 

(8.23)

 

(8.24)

 

Недостатком коэффициента готовности является то, что по нему нельзя определить время появления отказа, а можно только оценить время, в течение которого система работает безотказно.

 

Контрольные вопросы:

 

1. Матрица вероятностей переходов для одноэлементной системы.

2. Особенность матрицы вероятностей переходов для системы из последовательно соединенных элементов.

3. Диаграмма переходов в различные состояния и коэффициент готовности системы из параллельно соединенных элементов.

 

 

 

 

Литература

 

1. Михайлов В.В. Надежность электроснабжения промышленных предприятий. М., Энергия, 1973.

2. Гук Ю.Б., Казак Н.А., Мясников А.В. Теория и расчет надежности систем электроснабжения. М., Энергия, 1970.

3. Розанов М.Н. Надежность электроэнергетических систем. М., Энергия, 1974.

4. Гук Ю.Б., Лосев Э.А., Мясников А.В. Оценка надежности электроустановок. М., Энергия, 1974.

5. Фокин Ю.А., Туфанов В.А. Оценка надежности систем электроснабжения. М., Энергоиздат, 1981.

6. Гук Ю.Б. Теория надежности в энергетике. Л., Энергоатомиздат, 1990.

 

 

 

 

 

Содержание

Стр.

 

Введение. 1

1. Основные понятия и показатели надежности. 4

1.1. Общие определения. 4

1.2. Показатели надежности элементов систем электроснабжения. 8

2. Показатели плановых ремонтов. 20

3. Последствия отказов энергетических установок потребителей и энергосистем. 21

4. Методы анализа и расчета надежности электроэнергетических

установок. 26

4.1. Анализ надежности по методу приведенных затрат. 26

4.2. Анализ надежности с помощью блок-схем. 28

5. Методы расчета показателей надежности. 31 6. Модель системы с учетом восстановлений. 32 6.1. Последовательное соединение элементов. 33 6.2. Параллельное соединение элементов. 33

6.3. Смешанное соединение элементов. 35

7. Учет плановых ремонтов при расчете надежности. 36

8. Использование Марковских процессов при анализе надежности систем электроснабжения. 38

8.1. Одноэлементная система. 38

8.2. Система из последовательно соединенных элементов. 41

8.3. Система из параллельно соединенных элементов. 44

Литература 49