Методика обработки результатов косвенных измерений

Косвенные измерения – это измерения, результат которых y определяют на основании прямых измерений величин x₁, x₂, …, x_n, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью. Уравнение косвенного измерения имеет вид:

 

y= f (x₁, x₂, …, x_n). (6.1)

Функциональная зависимость f называется также формулой (уравнением) связи, а величины x_i - измеряемыми аргументами.

Необходимость в косвенных измерениях возникает, если прямые измерения провести невозможно или слишком сложно, или если косвенные измерения дают более точный результат, чем прямые.

Исходными данными при косвенных измерениях являются ряды результатов наблюдений аргументов X_j, предварительно обработанные по методике, изложенной выше.

Методика обработки результатов косвенных измерений может использоваться только при условии постоянства аргументов и отсутствия взаимной связи между ними. Поэтому перед началом обработки, проанализировав попарно все результаты наблюдений аргументов, убедиться в отсутствии корреляции между ними. Если корреляционная связь не обнаружена, производится дальнейшая обработка: определяется результат косвенного измерения и оценивается его погрешность.

Погрешности косвенных измерений величины y зависят от погрешностей измерений величин x₁, x₂, …, x_{n .}

Если систематическими составляющими погрешностей прямых измерений аргументов можно пренебречь, а случайные погрешности измеряемых аргументов не зависят друг от друга, то обработка результатов косвенных измерений может осуществляться в следующей последовательности:

· производится проверка отсутствия корреляции между результатами наблюдений каждой пары аргументов, для чего вычисляется коэффициент корреляции R между аргументами X_h и X_l по формуле:

 

(6.2)

 

где n – число наблюдений; и результаты i –го наблюдения соответственно h –го и l -го аргументов;

и - оценки среднеквадратичного отклонения результатов измерения этих аргументов.

Рассчитывается показатель корреляции

 

(6.3)

 

Критерием отсутствия корреляции является неравенство

 

K_R < t_g,, (6.4)

где t_g - коэффициент доверия при доверительной вероятности g числе степеней свободы k = n – 1.

Если это неравенство удовлетворяется, то это значит, что корреляционная связь между данной парой аргументов X _h и X_l отсутствует. При наличии корреляционной зависимости между аргументами обработка экспериментальных данных при косвенных измерениях производится по более сложной методике и в настоящей работе не рассматривается;

· определяем наиболее вероятное значение измеряемой величины по выражению

 

(6.5)

 

где средние или средневзвешенные значения величин x₁, x₂, …, x_n;

· определяем погрешность результата косвенного измерения:

 

(6.6)

 

где - частная погрешность результата косвенного измерения;

- частная производная от y из уравнения связи по j -му измеряемому аргументу;

- абсолютная погрешность прямого измерения j -го аргумента.

Для алгебраической суммы

 

Y = a*X₁ + b*X₂ + … (6.7)

 

абсолютная погрешность результата

 

(6.8)

 

Для произведения

(6.9)

погрешность результата

 

(6.10)

 

определяем среднеквадратичную погрешность результата косвенного измерения

 

(6.11)

где - среднеквадратичные погрешности результатов прямых измерений аргументов x_j;

· вычисляем доверительные границы случайной составляющей погрешности результата косвенного измерения

 

(6.12)

 

где γ - доверительная вероятность,

t_γ - коэффициент доверия, значения которого рассчитывается следующим образом.

Сначала вычисляется эффективное число степеней свободы для данного косвенного измерения:

 

(6.13)

 

где n_j - число прямых измерений аргумента x_j.

Если все n_j одинаковы и равны n, то

 

Задавшись значением γ, находим для k = k_эф (еслизначение k_эф получилось дробным, его следует округлить) величину t_γ;

· вычисляем доверительные границы общей погрешности результата косвенного измерения

Δ A_y» ε;. (6.14)

 

записываем результат косвенного измерения в виде

 

y = A ± Δ A; γ = 0,95, (6.15)

 

где А – наиболее вероятное значение результата измерения (A» ).