Закон распределения непрерывной случайной величины

Значения непрерывной случайной величины могут отличаться друг от друга сколь угодно мало, поэтому вероятность каждого из этих значений также бесконечно мала, и построить кривую распределения вероятностей невозможно.

Чтобы выявить распределение вероятностей в этом случае, рассматривается некоторое множество интервалов Δx_i в диапазоне возможных значений данной случайной величины, затем подсчитывают частоты n_i попадания значений в каждый из этих интервалов. Расположив, как и в предыдущем случае, значения x_i в порядке возрастания и обозначив соответственно вероятности p_i, получим ступенчатую кривую – гистограмму (рис. 4.2а). Соединив середины верхних отрезков гистограммы ломаной кривой, получим полигон частот (рис. 4.2б). Если взять бесконечно малые интервалы (Δx_i 0), график потеряет ступенчатый характер и преобразуется в плавную кривую, называемую кривой распределения плотности вероятности f(x) для данной непрерывной случайной величины (рис. 4.2в). Уравнение, описывающее эту кривую, называется законом распределения данной непрерывной случайной величины. Площадь под всей кривой f(x) равна вероятности появления любого из возможных значений x_i, т.е. равна 1:

Модой для непрерывной случайной величины называется максимальное значение распределения.

Важным моментом является то, что существует оптимальное число интервалов группирования m, когда ступенчатая огибающая гистограммы наиболее близка к плавной кривой

Рис. 4.2

распределения генеральной совокупности. При слишком малом числе интервалов гистограмма будет отличаться от плавной кривой распределения вследствие слишком крупной ступенчатости (рис. 4.3а), из-за чего характерные особенности будут просто потеряны. Естественно считать, что появляющиеся при группировании провалы и выбросы являются случайным «шумом». Укрупнение интервалов группирования является методом фильтрации этого случайного «шума» (рис. 4.3б). Однако при слишком протяженных интервалах начнет «фильтроваться» уже не «шум», а сам «сигнал», т.е. начинают сглаживаться особенности искомого закона распределения.

Рис. 4.3

Оптимальное число интервалов можно рассчитать по формулам Старджеса

m = 3,3lg n + 1

Брукса и Каррузера

m = 5lg n

или Хайнольда и Гаеде

m = .

В области значений n<100 результаты расчетов по вышеприведенным формулам близки между собой.