Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕриложение дифференциального исчислени€ к исследованию функции




 

ѕусть дана функци€ одной переменной .

“ребуетс€ исследовать ее методами дифференциального исчислени€ и построить ее график.

ƒл€ решени€ этой задачи рекомендуетс€ следующа€ схема:

1) Ќайти область определени€ функции.

2) »сследовать функцию на четность и периодичность.

”казать симметрию графика функции относительно оси ординат, либо начала координат, если она имеет место.

3) »сследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции (если они имеютс€), указать их характер, исследовать поведение функции вблизи точек разрыва.

4) Ќайти асимптоты графика функции (если они имеютс€).

5) Ќайти точки пересечени€ графика функции с ос€ми координат (если они имеютс€), указать интервалы знакопосто€нства функции.

6) Ќайти точки экстремума, экстремумы функции (если они имеютс€), указать интервалы монотонности.

7) Ќайти точки перегиба графика функции (если они имеютс€), указать интервалы выпуклости и вогнутости.

8) Ќайти несколько дополнительных точек (если это необходимо) и построить график функции, пользу€сь результатами проведенного исследовани€.

ќпределение. »нтервалы, в которых функци€ только возрастает или только убывает, называютс€ интервалами монотонности функции.

ќтметим необходимые и достаточные услови€ возрастани€ и убывани€ функций.

“еорема 6.8 (необходимые услови€). ≈сли дифференцируема€ на интервале функци€ возрастает (убывает), то дл€ любого .

“еорема 6.9 (достаточные услови€). ≈сли функци€ дифференцируема на интервале и дл€ любого , то эта функци€ возрастает (убывает) на интервале .

ќпределение. “очка называетс€ точкой максимума (минимума) функции , если существует -окрестность точки така€, что дл€ всех этой окрестности выполн€етс€ неравенство: .

«начение называют максимумом (минимумом) функции.

ќпределение. “очки максимума или минимума функции называют точками экстремума функции.

Ёкстремумы функции нос€т локальный характер Ц это наибольшее или наименьшее значени€ функции по сравнению с близлежащими ее значени€ми (рисунок 5 и рисунок 6)

 
 


–исунок 5 –исунок 6

“еорема 6.10 (необходимое условие экстре мума). ≈сли дифференцируема€ функци€ имеет экстремум в точке , то ее производна€ в этой точке равна нулю: .

«амечание. 1) ≈сли , то это не значит, что Ц точка экстремума. 2) —уществуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной.

Ќапример, непрерывна€ функци€ в точке не имеет производной, но точка Ц точка минимума этой.

ќпределение. Ќепрерывна€ функци€ может иметь экстремум лишь в точках, где производна€ функции равна нулю или не существует. “акие точки называютс€ критическими.

≈сли производна€ в какой-либо точке равна нулю или не существует, то это не значит, что в ней функци€ будет иметь экстремум. ¬ этом можно убедитьс€ на следующем примере.

Ќапример, дл€ функции при производна€ не существует: . Ёкстремума нет (рисунок 7).

Ёкстремальные точки относ€тс€ к критическим, но не исчерпывают их, а €вл€ютс€ только частью критических точек. ѕоэтому по необходимому признаку нельз€ установить наличие экстремума функции в данной точке.

“еорема 6.11 (достаточное условие экстремума). ≈сли непрерывна€ функци€ дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производна€ мен€ет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то Ц точка минимума.

»так, чтобы найти экстремальные точки функции одного переменного необходимо:

1) найти ее первую производную;

2) определить критические точки, т.е. найти значени€ аргумента, где перва€ производна€ равна нулю или не существует;

3) исследовать их на экстремум с помощью достаточного признака.

»ногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существовани€ экстремума, основанный на определении знака второй производной.

“еорема 6.12 ≈сли в точке перва€ производна€ функции равна нулю , а втора€ производна€ в точке существует и отлична от нул€ , то при в точке функци€ имеет максимум и минимум при .

ѕример Ќайти экстремумы функции .

ѕерва€ производна€:

.

 ритические точки:

.

¬тора€ производна€ в произвольной точке:

.

≈е значение в критических точках:

.

ѕри функци€ имеет максимум, при функци€ имеет минимум.

«амечание. √рафик дифференцируемой на функции не имеет изломов и заострений.


ќпределение. √рафик дифференцируемой функции называетс€ выпуклым на интервале , если дуга кривой на этом интервале расположена ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке (рисунок 8), в противном случае график функции называетс€ вогнутым на интервале (рисунок 9)

 

ќпределение. “очка графика непрерывной функции , отдел€юща€ его части разной выпуклости, называетс€ точкой перегиба.

»нтервалы выпуклости вниз и вверх наход€т с помощью теоремы:

“еорема 6.13 ≈сли функци€ во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх. ≈сли же дл€ любого Ц график выпуклый вниз.

“очки перегиба графика функции наход€т с помощью следующей теоремы:

“еорема 6.14 (достаточное условие существование точек перегиба). ≈сли втора€ производна€ при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, мен€ет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

Ќапример‘ункци€ при имеет точку перегиба (рисунок 10),

–исунок 10 –исунок 11

 

где втора€ производна€ равна : .

ќбратное утверждение неверно, т.е. если в точке втора€ производна€ равна нулю или не существует, то это не значит, что в данной точке график функции будет иметь перегиб.

Ќапример, дл€ функции при втора€ производна€ обращаетс€ в нуль: , . ќднако здесь нет точки перегиба (см. рисунок 11).





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 523 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

≈сли вы думаете, что на что-то способны, вы правы; если думаете, что у вас ничего не получитс€ - вы тоже правы. © √енри ‘орд
==> читать все изречени€...

1974 - | 1950 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.012 с.