Найдем релятивистское выражение для энергии. Будем действовать по аналогии с нерелятивистским случаем:
Интегрирование дает:
Из начального условия (Т = 0 при v = 0) получаем:
Где mc 2 - полная энергия тела.
Таким образом, разница полной энергии тела и энергии покоя равна кинетической энергии тела.
Предположим, что наши два тела с равными массами (те которые столкнулись) можно «видеть» даже тогда, когда они оказываются внутри тела М. Масса тела М, как мы обнаружили, равна не 2 m 0, а равна 2 mw. Значит, избыток массы составного тела равен привнесенной кинетической энергии. Это означает, что у энергии есть инерция. Т.е. энергия эквивалентна массе. На самом деле такое рассуждение является совершенно общим; в появлении избыточной массы участвуют все виды энергии, например, потенциальная энергия взаимодействия частиц.
Теперь обратимся к вопросу: нужно ли добавлять к кинетической энергии m 0 c 2 и говорить с этих пор, что полная энергия объекта равна mc 2?
Если бы нам видны были составные части с массой покоя m 0 внутри объекта М, то можно было бы говорить, что часть массы М есть механическая масса покоя составных частей, а другая часть - их кинетическая энергия, третья - потенциальная и т.д. Но никакими способами нельзя разглядеть внутри М какие-то составные части. А потому возникает новая идея: нет нужды знать, как тела устроены изнутри; нельзя и не нужно разбираться в том, какую часть энергии внутри частицы можно считать энергией покоя тех частей, на которые она распадается. Неудобно, а порой и невозможно разбивать полную энергию mс 2 тела на энергию покоя внутренних частей, их кинетическую и потенциальную энергию; вместо этого мы просто говорим о полной энергии частицы. Мы «сдвигаем начало отсчета» энергии, добавляя ко всему константу m 0 с 2, и говорим, что полная энергия частицы равна ее массе движения, умноженной на с 2.
Легко обнаружить, что скорость v, импульс р и полная энергия Е довольно просто связаны между собой. Исходные соотношения:
Важными для практики оказываются два выражения:
