Главное отличие принципа относительности Эйнштейна от принципа относительности Ньютона заключается в том, что законы преобразований, связывающих координаты и время в системах, движущихся друг относительно друга, различны. Правильный закон преобразований (Лоренца) таков:
Эти уравнения отвечают сравнительно простому частному случаю, когда наблюдатели движутся друг относительно друга вдоль общей оси х. Самое общее преобразование Лоренца выглядит довольно сложно: в нем перемешаны все четыре числа.
Можно выразить координаты неподвижной системы отсчета через координаты движущейся системы:
Ясно, что, из-за относительности движения и постоянства скорости, тот, кто «движется», может, если пожелает, счесть себя неподвижным, другого - движущимся. А поскольку этот другой движется в обратную сторону, то получится то же преобразование, но с противоположным знаком у скорости.
Найдем дифференциалы координат из последних уравнений:
Разделив первые три уравнения на четвертое, получим формулы для преобразования скоростей:
Для vz выражение такое же, как и для vу, что ясно также из симметрии соответствующих координатных осей по отношению к скорости движения.
В частном случае только поперечного движения (
) формула для преобразования поперечной скорости приобретает вид:
Поперечная скорость в движущейся системе отсчета неподвижному наблюдателю кажется уменьшенной.
Полученное выражение можно получить прямо из принципа относительности, если вспомнить часы со световым лучом. В таких часах вертикальная компонента скорости меньше скорости света с на множитель 
.
Особый интерес вызывает преобразование продольной скорости vx.
Предположим, что наша скорость внутри космического корабля равна половине скорости света и направлена в сторону движения корабля (
), который движется с такой же скоростью (
). Согласно Ньютону, неподвижному наблюдателю должно казаться, что наша скорость vx равна сумме скоростей корабля и нашей скорости относительно корабля, т.е. равна скорости света. Теория относительности дает:
Если внутри корабля движется свет, то его скорость для внешнего наблюдателя равна
, независимо от скорости u движения корабля.
Собственно факт инвариантности скорости света является основным положением в фундаменте теории относительности.
