Энергия электростатического поля. Энергия системы покоящихся зарядов

Рассмотрим произвольную ограниченную систему зарядов находящихся диэлектрической среде. Выделим произвольную область содержащую систему зарядов и ограниченную замкнутой поверхностью S. Энергия электростатического поля, содержащаяся в V₀ равна

Пологая и интегрируя по частям, находим

(19.1)

Будем считать поверхность S сферой бесконечно большого радиуса R. Тогда при потенциал убывает как , где - диэлектрическая проницаемость среды на бесконечности, а - полный свободный заряд системы, равный по теореме Гаусса

Все это позволяет получить следующую оценку для поверхностного интеграла (19.1):

Так как потенциал убывает обратно пропорционально расстоянию то при

(19.2)

где -область занятое свободными зарядами.

Учтем теперь, что потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона и поэтому может быть записан в форме

(19.3)

где - область, занятая свободными и связанными зарядами. Подставляя (19.3) в (19.2), получаем выражение для энергии электростатического поля в среде:

обычно используемое симметричное выражение (19.4)

Если заряды считать точечными, то (19. 4) будет содержать расходящиеся интегралы, отвечающие собственным энергиям отдельных зарядов. Если заряд е равномерно распределен по поверхности шарика радиуса а, то энергия электростатического поля, равна

и при оказывается бесконечной.

Энергия системы точечных зарядов будет равна, здесь - потенциал создаваемый всеми зарядами кроме i-го.