Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ћинейные однородные дифференциальные уравнени€ с. посто€нными коэффициентами




посто€нными коэффициентами.

 

–ешение дифференциального уравнени€ вида или, короче, будем искать в виде , где k = const.

“.к. то

 

ѕри этом многочлен называетс€ характеристическим многочленом дифференциального уравнени€.

ƒл€ того, чтобы функци€ €вл€лась решением исходного дифференциального уравнени€, необходимо и достаточно, чтобы

т.е.

“.к. ekx ¹ 0, то - это уравнение называетс€ характеристическим уравнением.

 

 ак и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение имеет n корней.  аждому корню характеристического уравнени€ ki соответствует решение дифференциального уравнени€.

 

¬ зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно Ц сопр€женные корни, как различные, так и кратные.

Ќе будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождени€ решени€ линейного однородного дифференциального уравнени€ с посто€нными коэффициентами.

 

1) —оставл€ем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Ќаходим частные решени€ дифференциального уравнени€, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставитс€ в соответствие m решений:

в) каждой паре комплексно Ц сопр€женных корней характеристического уравнение ставитс€ в соответствие два решени€:

и .

г) каждой паре m Ц кратных комплексно Ц сопр€женных корней характеристического уравнени€ ставитс€ в соответствие 2 m решений:

3) —оставл€ем линейную комбинацию найденных решений.

 

Ёта линейна€ комбинаци€ и будет €вл€тьс€ общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнени€ с посто€нными коэффициентами.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-25; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 397 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

≈сли президенты не могут делать этого со своими женами, они делают это со своими странами © »осиф Ѕродский
==> читать все изречени€...

1576 - | 1535 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.007 с.