Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќбыкновенные дифференциальные уравнени€




 

–ешение различных геометрических, физических и инженерных задач часто привод€т к уравнени€м, которые св€зывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой Ц либо функцией этих переменных и производными этой функции различных пор€дков.

¬ качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движени€ материальной точки.

»звестно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении €вл€етс€ функцией времени и выражаетс€ по формуле:

¬ свою очередь ускорение a €вл€етс€ производной по времени t от скорости V, котора€ также €вл€етс€ производной по времени t от перемещени€ S. “.е.

 

“огда получаем: - уравнение св€зывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго пор€дка функции f(t).

 

 

ќпределение. ƒифференциальным уравнением называетс€ уравнение, св€зывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

 

ќпределение. ≈сли дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называетс€ обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называетс€ дифференциальным уравнением в частных производных.

 

ќпределение. Ќаивысший пор€док производных, вход€щих в уравнение, называетс€ пор€дком дифференциального уравнени€.

 

ќпределение. ќбщим решением дифференциального уравнени€ называетс€ така€ дифференцируема€ функци€ y = j(x, C), котора€ при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

—войства общего решени€.

1) “.к. посто€нна€ — Ц произвольна€ величина, то вообще говор€ дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

 

2) ѕри каких- либо начальных услови€х х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение — = —0, при котором решением дифференциального уравнени€ €вл€етс€ функци€ у = j(х, —0).

 

 

ќпределение. –ешение вида у = j(х, —0) называетс€ частным решением дифференциального уравнени€.

 

ќпределение. «адачей  оши (ќгюстен Ћуи  оши (1789-1857)- французский математик) называетс€ нахождение любого частного решени€ дифференциального уравнени€ вида у = j(х, —0), удовлетвор€ющего начальным услови€м у(х0) = у0.

 

“еорема  оши. (теорема о существовании и единственности решени€ дифференциального уравнени€ 1- го пор€дка)

≈сли функци€ f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение уравнени€ , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение j(х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнени€.

 

ќпределение. »нтегралом дифференциального уравнени€ называетс€ любое уравнение, не содержащее производных, дл€ которого данное дифференциальное уравнение €вл€етс€ следствием.

ƒифференциальные уравнени€ первого пор€дка.

 

ќпределение. ƒифференциальным уравнением первого пор€дка называетс€ соотношение, св€зывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

 

≈сли такое соотношение преобразовать к виду то это дифференциальное уравнение первого пор€дка будет называтьс€ уравнением, разрешенным относительно производной.

 

ѕреобразуем такое выражение далее:

‘ункцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

 

это так называема€ дифференциальна€ форма уравнени€ первого пор€дка.

- ”равнени€ с раздел€ющимис€ переменными

 

ќпределение. ƒифференциальное уравнение называетс€ уравнением с раздел€ющимис€ переменными, если его можно записать в виде

- .

 

 

“акое уравнение можно представить также в виде:

 

-

ѕерейдем к новым обозначени€м

 

ѕолучаем:

 

 

ѕосле нахождени€ соответствующих интегралов получаетс€ общее решение дифференциального уравнени€ с раздел€ющимис€ переменными.

≈сли заданы начальные услови€, то при их подстановке в общее решение находитс€ посто€нна€ величина —, а, соответственно, и частное решение.

 

Ћинейные уравнени€.

 

ќпределение. ƒифференциальное уравнение называетс€ линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

при этом, если права€ часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называетс€ линейным однородным дифференциальным уравнением, если права€ часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называетс€ линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

 

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

 

 

Ћинейные однородные дифференциальные уравнени€.

 

–ассмотрим методы нахождени€ общего решени€ линейного однородного дифференциального уравнени€ первого пор€дка вида

.

 

ƒл€ этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представл€ет сложностей.

 

ќбщее решение:

 

Ћинейные неоднородные дифференциальные уравнени€.

 

ƒл€ интегрировани€ линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) примен€ютс€ в основном два метода: метод Ѕернулли и метод Ћагранжа.

 

 

ћетод Ћагранжа.

 

(Ћарганж ∆озеф Ћуи (1736-1813) - французский математик, през. Ѕерлинской јЌ,

поч. чл. ѕет. јЌ (1776)).

 

 

ћетод Ћагранжа решени€ неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной посто€нной.

 

¬ернемс€ к поставленной задаче:

 

ѕервый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнени€ и замене ее нулем.

ƒалее находитс€ решение получившегос€ однородного дифференциального уравнени€:

.

ƒл€ того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнени€, будем считать посто€нную —1 некоторой функцией от х.

“огда по правилам дифференцировани€ произведени€ функций получаем:

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-25; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 486 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ƒва самых важных дн€ в твоей жизни: день, когда ты по€вилс€ на свет, и день, когда пон€л, зачем. © ћарк “вен
==> читать все изречени€...

305 - | 275 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.015 с.