Квадратные уравнения

 

Пример 1. Решить относительно х:

 

(1)

 

а). Пусть а = 0, тогда –2х+4 = 0 Û х = 2;

б). Пусть а ¹ 0, тогда D = 1– 4а; при 1– 4а < 0 Þ а > х Î Æ;

при 1– 4а ³ 0 Þ а £ .

Ответ: при а = 0 х = 2; при а ¹

0 и а £

уравнение (1) имеет два решения

; при а ¹ 0 и а >

уравнение (1) не имеет решений.

При исследование квадратичной функции мы используем теоремы, которые также

помогают при решение задач с параметрами.

Т₁. Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня и b > 0,

c > 0, то оба корня этого уравнения отрицательные; b

< 0, c > 0, то оба корня этого уравнения

неотрицательны.

Т₂. Необходимые и достаточные условия, чтобы корни квадратного

уравнения были больше заданного числа d:

Пример 2. При каких значениях параметра а, корни уравнения неотрицательны:

 

(1)

 

Разделим уравнение (1) на а, но поставим условие а ¹ 0, тогда получим

 

(2)

 

По Т₁: ;

1). D = ; приводим к общему знаменателю а², получаем

; .

 

 

 

 

 

 

2). > 0;

корень уравнения :

а = –2 и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на

координатную прямую (Рис. 1).

Получаем а < –2, а > 0

 

Рис. 1

 

3). ; корень уравнения : а = –3

 

 

 

 

и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 2).

 

 

Получаем –3 < а < 0.

 

Рис. 2

 

4). Объединим полученные результаты:

 

(Рис. 3)

 

Получаем

 

	Рис. 3

 

Ответ: при уравнение (1) имеет неотрицательные корни.

Пример 3. При каких значениях параметра а, корни уравнения больше 1:

 

(1)

 

По Т₂: .

1).

> 0, разделим получившееся неравенство на –8, получаем

 

 

 

 

корни данного

уравнения: .

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 4).

 

Рис. 4

Получаем < а <

 

2). , помножим обе части данного неравенства на 2 а, при этом а ¹ 0;

2а + 1 > 2а Þ 2а – 2а > –1 Þ 0 > –1 Þ а Î R.

3). Y(1) = 2а –2;

корни уравнения 2а(а-1) > 0: а₁ = 0; а₂ = 1.

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 5).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

Получаем а < 0, а > 1

4). Объединим полученные результаты:

 

(Рис.6)

 

 

 

 

 

 

Рис. 6

 

Получаем

Ответ: при корни уравнения (1) больше 1.

Пример 4. При каком наибольшем целом а оба корня уравнения заключены

строго между –2 и 4:

 

Способ 1:

(1)

 

; тогда корни уравнения (1): . Они должны быть заключены строго между –2 и 4:

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 7).

 

 

Получаем

 

	Рис. 7

 

Способ 2:

По Т₂:

1). D = 1 > 0;

2). ;

3). Y(–2) = а²+4а+3

 

 

 

 

а²+4а+3 > 0; корни уравнения а²+4а+3 =

0: а₁ = –3, а₂ = –1; нанесем

полученные точки на координатную прямую (Рис. 8).

 

 

 

Рис. 8

 

Получаем а < –3, а > –1.

Y(4) = а²–8а+15

 

 

 

 

а²–8а+15 > 0; корни уравнения а²–8а+15 =

0: а₁ = 3, а₂ = 5; нанесем полученные

точки на координатную прямую (Рис. 9).

 

Рис. 9

 

 

 

Получаем а < 3, а > 5.

4). Объединим полученные результаты:

 

(Рис.10)

 

 

 

 

Рис. 10

 

Получаем –1 < а < 3.

Ответ: при а = 2 оба корня уравнения (1) заключены строго между –2 и 4.

Пример 5. Найти коэффициент а, если корни уравнения связаны соотношением

2х₁+х₂ = 3:

по теореме Виета: ;

составим и решим систему:

получаем х₁ = 1, х₂ = 1, тогда

а = 1.

Ответ: а = 1.

 

http://www.coolreferat.com/Уравнения_с_параметрами

или здесь посмотрите

 

ссылка на презентацию, здесь можно взять с 1 по 8 слайд

http://nsportal.ru/ap/ap/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/reshenie-kvadratnyh-uravneniy-s