Отработка навыка решения линейного уравнения с параметром

Решить уравнение

а) ( -9)х=а+3

б)(а-1)(а-5)х=а-5

в)(а-3)(а+5)х= -25

г) 6(ах-1)+а=3(а-х)+7

д) при каких значениях а уравнение 2(3х-2а)=2+ах не имеет решения?

е) при каких значениях а уравнение 6(ах-1)-а=2(а+х)-7 имеет бесконечное множество решений?

ж) при каких значениях а уравнение 2(а-2х)=ах+3 не имеет решения?

З) при каких значениях а уравнение 2(а+х)=3(1-х) имеет положительное решение?

и) при каких значениях а уравнение а(х-3)=2х+1 имеет решение, удовлетворяющее условию х<3?

Пример 1. Для всех значений параметра а решите уравнение .

Ответ: если а – любое число.

Пример 2. Для всех значений параметра а решите уравнение .

Ответ: , если а – любое число.

Пример 3. Для всех значений параметра а решите уравнение ах = 1.

Решение: При а = 0 данное уравнение решений не имеет, и в ответе это обстоятельство должно быть отражено.

Ответ: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0 решение .

Пример 4. Для всех значений параметра а решите уравнение 0х = а.

Ответ: при а ≠ 0 корней нет;при а=0 х – любое число.

Пример 5. Исследовать и решить уравнение с параметром

Решение: Найдём контрольные значения параметра, т.е. Такие значения при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а = 0 и а = 2.

а)При а =0 уравнение принимает вид 0х = -2. Это уравнение корней не имеет.

б) При а = 2 уравнение принимает вид 0х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

в) При а ≠ 0 и а ≠ 2 из исходного уравнения получаем , откуда .

Ответ: 1) при а =0 корней нет.

2) при а = 2 х – любое действительное число.

3) при то

Пример 6. Исследовать и решить уравнение с параметром.

Найдём контрольные значения параметра а: .

а) при а=1 уравнение принимает вид 0х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

б) при а ≠ 1 уравнение примет вид

Ответ: 1) при а=1 х – любое действительное число.

2) при а ≠ 1, то

Пример 7. Исследовать и решить уравнение с параметром.

а² (х – 5) = 25 (х – а)

Выполнив ряд преобразований, приведём уравнение к виду, наиболее удобному для исследования: а²х – 5а² = 25х – 25а;

(а² – 25)х = 5а² – 25а.

(а-5)(а+5)х = 5а(а-5).

а) при ед. х ; .

б) Если а = 5, то 0х = 0, следовательно, любое х есть решение.

в) Если а = - 5, то 0х = 250, следовательно, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

-5 5

а

 

3) 1) 2)

Ответ: 1) при ед. х .

2) при а = 5, любое х есть решение.