П. 4.4. Экстремум функции

Определение. Точка называется точкой максимума функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение. Точка называется точкой минимума функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение. Экстремумом функции называется точка максимума или минимума функции.

Теорема (необходимое условие существования экстремума функции в точке). Пусть функция имеет в точке экстремум. Тогда производная либо равна нулю в точке , либо не существует.

Определение. Точки в которых производная равна 0 или не существует называются критическими.

!!! Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Теорема (первое достаточное условие существования экстремума). Пусть функция – дифференцируемая функция.

1) Если в точке первая производная меняет свой знак с “+” на “–”, то функция имеет в точке максимум.

2) Если в точке первая производная меняет свой знак с “–” на “+”, то функция имеет в точке минимум.

Теорема (второе достаточное условие существования экстремума). Пусть функция дважды дифференцируема, причем и – непрерывные функции. Тогда:

1) если и – точка минимума функции .

2) если и – точка максимума функции ;

Рис.5