П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

Тема 4. Приложение производной.

Теорема Ферма. Если функция непрерывна на отрезке и достигает своего наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого отрезка (т.е. ), то, если в точке существует производная , то она обязательно равна 0: .

Геометрический смысл.

Рис. 1     Рис. 18

Касательная будет параллельна оси – геометрическое истолкование теоремы Ферма (Рис. 1).

 

 

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале и при этом , т.е. принимает одинаковые значения на концах отрезка, то существует по крайней мере одна точка такая, что .

Геометрический смысл

Рис. 2     Рис. 19

Если на концах отрезка функция дифференцируема и принимает одинаковые значения, то найдется хотя бы одна точка, где касательная параллельна оси – геометрическое истолкование теоремы Ролля (Рис. 2).

 

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда существует такая точка , что

.

Геометрический смысл.

Рис.3   Рис. 20

На отрезке найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к кривой будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги кривой ( – тангенс угла наклона хорды, которая стягивает концы кривой) (Рис. 3).