Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


 лассы эквивалентности




— отношением эквивалентности тесно св€зано разбиение множества на классы.

ќпределение 6.1. —истема непустых подмножеств

{ M1, M2, Е }

множества M называетс€ разбиением этого множества, если

M = M1 M2 Е

и при i j

Mi Mj =O.

—ами множества M1, M2, Е называютс€ при этом классами данного разбиени€.

ѕримерами разбиений служат:

Ј разложение всех многоугольников на группы по числу вершин - треугольники, четырехугольники, п€тиугольники и т. д.;

Ј разбиение всех треугольников по свойствам углов (остроугольные, пр€моугольные, тупоугольные);

Ј разбиение всех треугольников по свойствам сторон (разносторонние, равнобедренные, равносторонние);

Ј разбиение всех треугольников на классы подобных треугольников;

Ј разбиение множества всех учащихс€ данной школы по классам.

Ўирокое применение отношений эквивалентности в современной науке св€зано с тем, что вс€кое отношение эквивалентности осуществл€ет разбиение множества, в котором оно определено, на классы, обычно принимаемые за новые объекты. ƒругими словами с помощью отношений эквивалентности порождаютс€ новые объекты, пон€ти€.

“ак, например, отношение сонаправленности лучей разбивает множество всех лучей плоскости или пространства на классы сонаправленных лучей.  аждый из этих классов лучей называетс€ направлением. “аким образом, интуитивное пон€тие направлени€ получает точное математическое описание как класс разбиени€ множества лучей с помощью отношени€ эквивалентности.

ќ подобных фигурах обычно говор€т, что они имеют одинаковую форму. Ќо что такое форма геометрической фигуры? »нтуитивно €сно, что это то общее, что объедин€ет подобные фигуры. — помощью отношени€ эквивалентности удаетс€ это интуитивное пон€тие перевести в точное математическое. ќтношение подоби€, €вл€€сь отношением эквивалентности, разбивает множество фигур на классы подобных фигур.  аждый такой класс можно назвать формой. “огда выражение "две одинаковые фигуры имеют одинаковую форму" имеет следующий точный смысл "две подобные фигуры принадлежат одной форме".

ќтношени€ эквивалентности встречаютс€ всюду, где осуществл€ютс€ разбиени€ множеств на классы. ћы часто пользуемс€ ими, не замеча€ этого.

ѕриведем элементарный пример.  огда дети играют со множеством разноцветных игрушек (например, с блоками ƒьенеша) и решают задачу разложить игрушки по цветам, то они пользуютс€ отношением "иметь один цвет". ѕолученные в результате классы одноцветных фигур воспринимаютс€ детьми как новые пон€ти€: красные, желтые, синие и т. д.

јналогично в результате решени€ задачи разложени€ блоков по форме дети получают классы, каждый из которых воспринимаетс€ как форма: пр€моугольные, круглые, треугольные и т. д.

—в€зи между отношени€ми эквивалентности, определенными на множестве M, и разбиени€ми множества M на классы описываютс€ в следующих двух теоремах.

“еорема 6.1. ¬с€кое разбиение непустого множества M на классы определ€ет (индуцирует) на этом множестве отношение эквивалентности такое, что:

Ј вс€кие два элемента одного класса наход€тс€ в отношении a;

Ј вс€кие два элемента различных классов не наход€тс€ в отношении a.

ƒоказательство. ѕусть имеетс€ некоторое разбиение непустого множества M. ќпределим бинарное отношение a следующим образом:

x a y ( K )(x K & y K).

“о есть два элемента x и y aиз множества M св€заны отношением a в том и только в том случае, если в разбиении найдетс€ такой класс K, которому одновременно принадлежат элементы x и y.

“ак определенное отношение a, очевидно, рефлексивно и симметрично. ƒокажем транзитивность отношени€ a. ѕусть x a y и x a z. “огда по определению в существуют классы K1 и K2 такие, что x, y K1 и y, z K2. “ак как различные классы в разбиении не имеют общих элементов, то K1 = K2, то есть x, z K1. ѕоэтому x a z, что и требовалось доказать.

“еорема 6.2. ¬с€кое отношение эквивалентности в непустом множестве M порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности такое, что

Ј вс€кие два элемента одного класса наход€тс€ в отношении a;

Ј вс€кие два элемента различных классов не наход€тс€ в отношении a.

ƒоказательство. ѕусть a - некоторое отношение эквивалентности на множестве M.  аждому элементу x из поставим в соответствие подмножество [ x ] множества M, состо€щее из всех элементов y, наход€щихс€ в отношении a с элементом x:

[ x ] = { y|y a x }.

—истема подмножеств [ x ], образует разбиение множества M. ƒействительно, во-первых, каждое подмножество [ x ] O, так как в силу рефлексивности отношени€ a x [ x ].

¬о-вторых, два различных подмножества [ x ] и [ y ] не имеют общих элементов. –ассужда€ от противного, допустим существование элемента z такого, что z [ x ] и z [ y ]. “огда z a x и zay. ѕоэтому дл€ любого элемента a [ x ] из a a x, zax и zay в силу симметричности и транзитивности отношени€ a вытекает a a y, то есть a [ y ]. —ледовательно, [ x ] [ y ]. јналогично получаем, что [ y ] [ x ]. ѕолученные два включени€ влекут равенство [ x ] = [ y ], противоречащее предположению о несовпадении подмножеств [ x ] и [ y ]. “аким образом,

[ x ] y ] = O.

¬-третьих, объединение всех подмножеств [ x ] совпадает со множеством M, ибо дл€ любого элемента x M выполн€етс€ условие x [ x ].

»так, система подмножеств [ x ], образует разбиение множества M. Ќесложно показать, что построенное разбиение удовлетвор€ет услови€м теоремы.

–азбиение множества M, обладающее свойствами, указанными в теореме, называетс€ фактор-множеством множества M по отношению a и обозначаетс€ M/ a.

ѕодведем некоторые итоги. ћы убедились, что задание эквивалентности a на множестве M равносильно заданию некоторого разбиени€ этого множества. »ными словами, определить некоторое отношение эквивалентности между элементами множества M - это означает разбить множество M на непересекающиес€ классы и считать эквивалентными те и только те элементы, которые попали в один и тот же класс. Ќа фактор-множество M/ a можно смотреть как на совокупность классов элементов из M, неразличимых "с точностью до эквивалентности a". ѕостроение фактор-множества M/ a называют иногда факторизацией множества по отношению a.

ќтношение эквивалентности лежит в основе всевозможных классификаций. ѕри классификации некоторого множества в нем задают одно или несколько отношений эквивалентности и рассматривают классы эквивалентности, св€занные с этими отношени€ми.

ѕри иерархической классификации все множество разлагаетс€ на классы эквивалентности, после чего каждый класс разлагаетс€ на классы эквивалентности по другому отношению и т. д. “ака€ классификаци€ примен€етс€, например, в биологии (царства живых существ, типы, классы, отр€ды, роды, виды). ¬ математике иерархическа€ классификаци€ используетс€, например, при классификации линий второго пор€дка.

ƒругой вид классификации основан на том, что указываетс€ несколько свойств (например форма, цвет, размер и т. д.), каждое из которых может принимать несколько значений (например, квадрат, круг, шестиугольник или красный зеленый, синий и т. д.). ѕосле этого каждый класс характеризуетс€ значени€ми, принимаемыми на нем данными свойствами (например, зеленые маленькие квадраты). ¬ библиотеках множество всех книг разбивают на книги по математике, физике, химии, истории и т. д. ƒалее книги по математике дел€т на книги по алгебре, геометрии, математическому анализу и т. д. ¬ математике такой вид классификации используетс€, например, при классификации многоугольников, с одной стороны, по числу сторон, а с другой - по признаку правильности или неправильности.

“ак как пересечение отношений эквивалентности €вл€етс€ отношением эквивалентности, то это позвол€ет сводить классификацию по нескольким признакам к классификации по одному сложному признаку.

Ѕолее подробное исследование вопросов, св€занных с классификацией, будет рассмотрено в специальной лекции.

Ћитература

1. Ўрейдер ё. ј. –авенство, сходство, пор€док. - ћ.: Ќаука, 1971.

2. –озен ¬. ¬. ÷ель - оптимальность - решение (математические модели прин€ти€ оптимальных решений). - ћ.: –адио и св€зь, 1982.

3. —тол€р ј. ј., –огановский Ќ. ћ. ќсновы современной школьной математики. „. 1. язык. ћножества. ќтношени€. ‘ункции. ћатематические структуры. - ћинск: Ќар. јсвета, 1975.

4. ћальцев ј. ». јлгебраические системы. ћ.: Ќаука, 1970.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 844 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

“ак просто быть добрым - нужно только представить себ€ на месте другого человека прежде, чем начать его судить. © ћарлен ƒитрих
==> читать все изречени€...

2282 - | 2025 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.015 с.