Очевидно, что произвольные бинарные отношения изучать в общем плане не особенно интересно, о них можно сказать очень мало. Однако, если отношения удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, относительно них можно делать более содержательные утверждения. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из основных свойств бинарных отношений.
Определение 3.1. Бинарное отношение a на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента a 
X выполняется условие a a a:
(
a X) a a a.
Если отношение представлено с помощью графа, то рефлексивность этого отношения означает, что в каждой вершине графа обязательно имеется петля.
Для отношения, заданного с помощью булевой матрицы его рефлексивность равносильна тому, что по главной диагонали этой матрицы (идущей из ее левого верхнего угла в правый нижний) стоят только символы 1.
Определение 3.2. Бинарное отношение a на X называется антирефлексивным, если ни для одного a X не выполняется условие a a a:
( a X) 
.
Обозначим через Ix отношение на множестве X, состоящее из пар вида (a, a), где a X:
Ix = {(a, a)| a X }.
Отношение Ix обычно называют диагональю множества X или отношением тождества на X.
Очевидно, что отношение a на множестве X рефлексивно, если диагональ Ix является подмножеством множества a:
Ix 
a.
Отношение антирефлексивно, если диагональ Ix и отношение a не имеют ни одного общего элемента:
Ix 
a = O.
Определение 3.3. Бинарное отношение a на множестве X называется симметричным, если из a a b следует b a a:
( a, b X)(a a b 
b a a).
Примерами симметричных отношений являются:
· отношение перпендикулярности на множестве прямых;
· отношение касания на множестве окружностей;
· отношение "быть похожим" на множестве людей;
· отношение "иметь одинаковый пол" на множестве животных.
Отношение " x брат y " на множестве всех людей не является симметричным. В то же время отношение " x брат y " на множестве мужчин симметричным является.
В графе симметричного отношения для каждой дуги из вершины x в вершину y имеется дуга из y в x. Поэтому симметричные отношения можно представлять графами с неориентированными ребрами. При этом каждая пара ориентированных ребер xy и yx заменяется одним неориентированным ребром.
На рисунке 8 представлено отношение
a= {(a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (d, c)}
с помощью ориентированного и неориентированного графов.
Рис. 8. Представление симметричного отношения с помощью
ориентированного (a) и неориентированного (b) графов
Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.
Теорема 3.1. Объединение и пересечение любого семейства симметричных отношений снова являются симметричными отношениями.
Определение 3.4. Бинарное отношение a на множестве X называется антисимметричным, если для любых различных элементов a и b условия a a b и b a a не выполняются одновременно:
( a, b X) (a a b & b a a a = b).
Например, отношение "делится" на множестве натуральных чисел является антисимметричным, так как из a 
b и b a следует, что a = b. Однако на множестве целых чисел отношение "делится" антисимметричным не является, так как (-2) 2 и 2 (- 2), но
-2 
2.
Отношения "выше", "тяжелее", "старше" антисимметричны на множестве людей. Отношение "быть сестрой" на множестве всех людей антисимметричным не является.
В графе антисимметричного отношения две различные вершины могут быть соединены не более чем одной дугой.
Определение 3.5. Бинарное отношение a на множестве X называется транзитивным, если для любых трех элементов a, b, c X из a a b и b a c следует a a c:
( a, b, c X) (a a b & b a c a a c).
Примерами транзитивных отношений служат:
· отношение "делится" на множестве действительных чисел;
· отношение "больше" на множестве действительных чисел;
· отношение "старше" на множестве людей игрушек;
· отношение "иметь одинаковый цвет" на множестве детских игрушек;
д) отношение "быть потомком" на множестве людей.
Феодальное отношение "быть вассалом" не является транзитивным. Это в частности подчеркивается в некоторых учебниках истории: "вассал моего вассала не мой вассал".
Отношение "быть похожим" на множестве людей не обладает свойством транзитивности.
Для произвольного отношения a можно найти минимальное транзитивное отношение b
такое, что a 
b. Минимальность отношения понимается в том смысле, что для любого транзитивного отношения g из a g следует b g. Таким отношением является транзитивное замыкание отношения a.
Пример 3.1. Транзитивным замыканием бинарного отношения на множестве людей "быть ребенком" является отношение "быть потомком".
Справедлива теорема.
Теорема 3.2. Для любого отношения транзитивное замыкание равно пересечению всех транзитивных отношений, включающих в качестве подмножества.
Определение 3.6. Бинарное отношение a на множестве X называется связным, если для любых двух различных элементов a и b имеет место a a b, либо b a a:
( a, b, c X)(a b a a b 
b a a).
Примером связного отношения является отношение "больше" на множестве действительных чисел. Отношение "делится" на множестве целых чисел связным не является.
Инвариантность отношений
В этом параграфе мы перечислим некоторые случаи, когда те или иные свойства отношений сохраняются при выполнении над ними операций [1].
Теорема 4.1. Если отношения a и b рефлексивны, то рефлексивны и следующие отношения:
a 
b,b 
a, a-1, a°b, 
.
Теорема 4.2. Если отношения a и b антирефлексивны, то антирефлексивны и следующие отношения:
a b, b a, a-1.
Теорема 4.3. Если отношения a и b симметричны, то симметричны и следующие отношения:
a b, b a, a-1.
Теорема 4.4. Чтобы произведение a°b симметричных отношений a и b было симметрично, необходимо и достаточно, чтобы отношения и коммутировали:
a°b =a°b.
Теорема 4.5. Если отношения a и b антисимметричны, то антисимметричны и следующие отношения:
a b, a-1
Теорема 4.6. Если отношения a и b транзитивны, то транзитивны и следующие отношения:
a b, a-1, .
Другие интересные свойства отношений описаны в [1, 2].
