Бинарные отношения

Бинарные отношения служат простым и удобным аппаратом для весьма широкого круга задач. Язык бинарных и n- арных отношений используется во многих прикладных (для математики) областях, например, таких как математическая лингвистика, математическая биология, математическая теория баз данных. Широкое использование языка бинарных отношений легко объясняется - геометрический аспект теории бинарных отношений есть попросту теория графов.

Введем необходимые определения.

Определение 1.1. Декартовым произведением множеств X и Y называется множество X x Y всех упорядоченных пар (x, y) таких, что x X, y Y.

Определение 1.2. Соответствием между множествами X и Y (или соответствием из X в Y) называется любое подмножество декартова произведения X x Y. Если множества X и Y совпадают, то соответствие между множествами X и Y называют также бинарным отношением на множестве X.

Пример 1.1. Пусть X = { a, b, c, d }, Y = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Тогда множество кортежей a={(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} являются соответствием из X в Y.

Отметим, что обычно соответствия задаются не путем указания подмножества a декартова произведения X x Y, а путем указания свойства пар (x, y), принадлежащих этому подмножеству

a. Например, отношение a= {(4, 4), (3, 3), (2, 2), (4, 2)} на множестве X = { 4, 3, 2 } можно определить как свойство "Делится" на этом подмножестве целых чисел.

Хорошо известными примерами отношений из школьного курса математики являются:

· на множестве целых чисел Z отношения "делится", "делит", "равно", "больше", "меньше", "взаимно просты";

· на множестве прямых пространства отношения "параллельны", "взаимно перпендикулярны", "скрещиваются", "пересекаются", "совпадают";

· на множестве окружностей плоскости "пересекаются", "касаются", "концентричны".

Факт принадлежности кортежа (x, y) соответствию a, часто обозначают с помощью так называемой инфиксной формы записи: x a y. Типичными примерами таких записей из курса математики являются: x > y, a = b, 8 4, m || l, a b и т. п.

Отношения могут задаваться формулами:

· формулы

y = x² +5x - 6 или

задают бинарные отношения на множестве действительных чисел;

· формула

x + y = любовь,

задает бинарное отношение на множестве людей. Этому отношению принадлежит любая пара людей, между которыми существует любовь.

Задание отношений в виде формул достаточно широко распространено. Об этом свидетельствуют многочисленные надписи на деревьях заборах или стенах домов типа:

"Вася + Таня = любовь",

увековечивающие принадлежность конкретной пары (Вася, Таня) отношению "любовь".

Рассмотрим еще три формы представления бинарных отношений: матричное представление и два графических представления. В качестве носителя отношения для иллюстрирующих примеров будем использовать множество X = { a, b, c, d, e }.

Вначале рассмотрим метод, восходящий к аналитической геометрии. Начертим пару взаимно перпендикулярных осей (OX - горизонтальная ось, а OY - вертикальная ось) и на каждой отметим точки, представляющие элементы множества X (рис. 1).

Рис. 1. Координатная сетка

Считая метки a, b, c, d, e координатами точек на горизонтальной и вертикальной осях, отметим на плоскости точки с координатами (x, y) такими, что (x, y). На рисунке 2 изображено множество точек, соответствующее отношению a= {(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e, b), (e, e)}.

Рис. 2. Бинарное отношение a

Другой широко распространенный способ представления отношений основан на использовании ориентированных графов. При таком представлении элементы множества X изображаются вершинами графа (точками плоскости), а элементы (x, y) отношения a дугами (стрелками), соединяющими первую компоненту x отношения со второй компонентой y. Граф бинарного отношения a изображен на рисунке 3.

Рис. 3. Граф бинарного отношения

Для бинарных отношений, определенных на конечных множествах, часто используется матричный способ задания. Пусть на некотором конечном множестве X задано отношение a. Упорядочим каким-либо образом элементы множества X = { x₁, x₂,..., x_n } и определим матрицу отношения A = [ a_ij ] следующим образом:

Таким образом, матрица отношения a, представленного графом на рисунке 3, имеет вид

Часто матрицу отношения называют булевой, чтобы подчеркнуть, что ее элементами являются только нули и единицы.