Определение углов между всеми осями симметрии и плоскостями зеркального отражения.

После построения стереографической проекции данной точечной группы с помощью сетки Вульфа, можно приступать к выполнению задания 3 – определению углов между всеми элементами симметрии данной точечной группы. Для этого необходимо стереографические проекции плоскостей перевести в гномостереографические. Затем, выводя попарно проекции элементов на один меридиан сетки Вульфа, определить углы между ними обычным способом. Результаты измерения углов вносятся в таблицу вида: Таблица 2.1.

 

 

Таблица 1. Углы между элементами симметрии.

Элементы симметрии	Оси	Плоскости
Оси			900	900	600	600	1200	1200	450	450	900	900	1460	340
	900		900	600	1200	600	1200	1350	450	340	1460	900	900
	900	900		450	450	450	450	900	900	560	560	560	560
	600	600	450		600	600	900	900	450	360	910	910	360
	600	1200	450	600		900	600	450	900	910	360	910	360
	1200	600	450	600	900		600	1350	900	360	910	360	910
	1200	1200	450	900	600	600		900	1350	910	360	360	901
Плоскости		450	1350	900	900	450	1350	900		900	540	1250	1250	540
	450	450	900	450	900	900	1350	900		540	1250	1250	540
	900	340	560	360	910	360	910	540	540		1120	710	710
	900	1460	560	910	360	910	360	1250	1250	1120		710	710
	1460	900	560	910	910	360	360	1250	1250	710	710		1120
	340	900	560	360	360	910	910	540	540	710	710	1120

Построение гномостереографической и стереографической проекции общей и одной частной простой формы. Определение полученного многогранника

Задание 4 выполняется на кальке со стереографическими проекциями элементов симметрии точечной группы. Для построения общей простой формы на кальку наносится гномостереографическая проекция произвольной грани, которая не лежит на проекции элемента симметрии и не составляет с одинаковыми элементами симметрии равных углов. Размножив эту грань с помощью всех элементов группы, получим гномостереографическую проекцию многогранника, который является общей простой формой данной группы.

Для построения частной простой формы необходимо взять точку, расположенную на одном из элементов симметрии, как, например, точки т.В и т.С. Первая точка является проекцией грани, которая перпендикулярна оси симметрии 3 и трем плоскостям симметрии, а т.С является проекцией грани перпендикулярной плоскости симметрии. Если гномостереографическая проекция грани отстоит на 90^о от стереографической проекции плоскости или оси симметрии, то эта грань также находиться в частном положении.

Построение стереографических проекций форм выполняют на отдельных листах кальки. Для этого переносят гномостереографачиские проекции на новую кальку и по ним обычным способом строят стереографические проекции граней. На этом задания по работе с точечной группой симметрии закончены.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ГРУППА СИММЕТРИИ Cmca

Построение плана пространственной группы симметрии

Построение плана пространственной группы рассмотрим на примере группы Cmca. Сначала построю проекцию системы трансляций, которая задается символом ячейки Бравэ, стоящем на перовом месте. В моем случае символ означает базоцентрированную систему, состоящую из трех осевых трансляций вдоль осей системы координат и одной диагональной трансляции ромбической сингонии. То есть характеризуется такими векторами трансляций , , , а ромбическая сингония – системой координат с метриками , (декартовая система координат).

Рис. 13

Нанесу на эту проекцию формульные (генерирующие) элементы симметрии в соответствии с правилами записи. На первом месте в заданном интернациональном символе пространственной группы стоят плоскости зеркального отражения m, которая располагается вдоль оси OX, на втором месте – плоскость скользящего отражения c, расположенная вдоль оси OY. На третьем месте стоит горизонтальная плоскость отражения а.

Рис. 14

 

Развитие плана пространственной группы проводят с помощью последовательного применения теорем о сложении элементов симметрии. Сначала применяют теоремы сложения элементов симметрии континуума, а затем – дисконтинуума.

По теореме 1.1 на нашем плане появятся оси второго порядка на пересечении плоскостей.Для применения теорем 1.2, 1.3, 1.4 нет условий. А теорема 1.5 подтверждает теорему 1.1.

Рис. 15

Теперь перейдем к теоремам о взаимодействии пространственных элементов симметрии. Применяя теорему 1.7 о трансляции перпендикулярной плоскости симметрии, получим еще две плоскости параллельные исходным в координатном положении, которые лежат на половине трансляции. Плоскости, отстоящие от генерирующих на величину трансляции, появились вследствие трансляционного переноса. А применив теорему 1.9 мы получим оси симметриии второго порядка.

Рис. 16

Нанесение на план пространственной группы все возможные правильные системы точек, определение кратности каждой системы, и составление таблицы их расположения и кратности

Для выполнения этого задания вновь построю план пространственной группы на отдельном листе миллиметровой бумаги. При нахождении правильных систем точек вспомню, что два любых объекта, связанные преобразованием трансляции являются эквивалентными.

Выполнение задания начну с систем точек частного положения. Для этого выделю неэквивалентные элементы симметрии. В моем случае все элементы симметрии являются эквивалентными.

Таблица 2. Правильные системы точек.

Вид	Кратность	Координаты	Расположение
Частного т.		, , ,	На оси 2 (пересечение плоскостей c)
Частного т.		, , , , , , ,	На пересечении оси 2 и плоскости n
Частного т.		, , , , , , ,	На пересечении оси 2 и плоскости n
Частного т.		, , ,	На пресечении плоскостей n
Частного т.		, , , ,	На пересечении плоскостей с и n
Общего т.		, , , , , , ,	Вне элементов симметрии