Теоремы о сочетании элементов симметрии

Теорема.1.1: Теорема о пересечении двух плоскостей. Линия пересечения двух плоскостей симметрии всегда является осью симметрии, действие которой эквивалентно действию этих плоскостей. Элементарный угол поворота оси равен удвоенному углу между плоскостями.

Теорема.1.2: Теорема о пересечении двух осей. Через точку пересечения двух осей симметрии всегда проходит третья ось симметрии.

Теорема.1.3: Теорема о пересечении оси симметрии и плоскости зеркального отражения.Точка пересечения плоскости зеркального отражения с перпендикулярной к ней осью симметрии четного порядка является центром инверсии.

Обратная 1: Через центр инверсии, лежащий на оси симметрии четного порядка, перпендикулярно этой оси проходит плоскость зеркального отражения.

Обратная 2: Через центр инверсии, лежащий на оси плоскости зеркального отражения, перпендикулярно этой плоскости проходит ось симметрии четного порядка.

Теорема.1.4: Следствие теоремы о пересечении двух осей. Число осей симметрии второго порядка, перпендикулярных оси симметрии высшего порядка, равно порядку этой оси.

Теорема.1.5: Следствие теоремы о пересечении двух плоскостей.Число плоскостей симметрии,пересекающихся по оси симметрии, равно порядку этой оси.

Принцип построения стереографической проекции

Стереографические проекции применяются главным образом для изображения элементов симметрии кристалла.

За плоскость стереографической проекции Q выбирается экваториальная плоскость, на которую сфера проектируется в виде круга проекций. В одном из полюсов этой сферы помещается точка зрения. Стереографические проекции направлений изображаются точками внутри круга проекций. Очевидно, вертикальное направление проектируется как точка в центре круга проекций, горизонтальное – как две точки на экваторе. Плоскость, проходящая через центр и пересекающая сферу, проектируется на стереографическую проекцию в виде соответствующей дуги большого круга. Стереографические проекции горизонтальных плоскостей представляют собой окружности, совпадающие с границами круга проекций, а проекции наклонных плоскостей изображаются дугами, опирающимися на концы диаметра круга проекций.

Сетка Вульфа

Для решения количественных задач с помощью стереографической и гномостереографических проекций пользуются обычно градусными сетками. Наиболее употребляется сетка Вульфа.

Сетка Вульфа – это стереографическая проекция всей системы меридианов и параллелей, нанесённых на поверхность сферы. Плоскостью проекций является плоскость одного из меридианов. Положение любой точки на сетке Вульфа определяется её сферическими координатами, j и r. Сетка Вульфа стандартно чертится в круге см. Линии параллелей и меридианов проводят через 2°.

Геометрической схемой, описывающей расположение материальных частиц в кристалле, является пространственная решётка. Она строится на трёх основных некомпланарных трансляциях, или параметрах решетки: a, b, c. В зависимости от величины и взаимной ориентировки трансляции a, b, c, пространственные решетки имеют различную симметрию.

Точки пересечения трансляций, слагающие пространственную решетку, называют узлами. Три элементарные трансляции решетки определяют элементарную ячейку, или параллелепипед повторяемости.

Исходя из идеи о периодическом расположении центров тяжести сферических материальных частиц в кристаллическом веществе, О. Бравэ в 1848 г. показал, что всё многообразие кристаллических структур можно описать с помощью 14 типов решеток, отличающихся по формам элементарных ячеек и по симметрии и подразделяющихся на 7 кристаллографических сингоний. Эти решетки были названы решетками Бравэ.

Каждая решетка это группа трансляций, характеризующих расположение материальных частиц в пространстве.