Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел.

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ):

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (, ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

 

42. Действия над комплексными числами

Сложение и вычитание

По аналогии со сложением и вычитанием векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел:

(a ₁ + b ₁ i) + (a ₂ + b ₂ i) +...+ (a_n + b_ni) = (a ₁ + a ₂ +...+ a_n) + (b ₁+ b ₂+...+ b _n) i = a + bi

Операция введена, так как получили элемент того же множества.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность x + iy = (a ₁ + b ₁ i) – (a ₂ + b ₂ i) определяется из условия:

(x + iy) + (a ₂ + b ₂ i) = (a ₁ + b ₁ i).

Из правила сложения получаем:

x + a ₂ = a ₁,
y + b ₂ = b ₁.

То есть x = a ₁ – a ₂, y = b ₁ – b ₂ и разность

(a ₁ + b ₁ i) – (a ₂ + b ₂ i) = (a ₁ – a ₂) + (b ₁ – b ₂) i.

Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

Это определение совершенно очевидно, если использовать показательную форму комплексного числа:

Пусть комплексные числа даны в алгебраической форме. Найдём их произведение: (a ₁ + b ₁ i) (a ₂ + b ₂ i) = x + iy.

Имеем .

Согласно определению умножения можем записать:

.

Распишем: ,

,

.

Окончательно получим:

.

Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме: комплексные числа можно перемножать как многочлены.

Если z = а + b i – комплексное число, то число называется сопряжённым с числом z. Его обозначают при помощи черты над числом.

, но , следовательно, .

Деление комплексных чисел

.

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Если делимое и делитель даны в алгебраической форме, то правило деления таково: для того, чтобы разделить комплексное число (a ₁ + b ₁ i) на другое комплексное число (a ₂ + b ₂ i), то есть найти , нужно и числитель, и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

.

В результате операции получили элемент того же множества. Значит, операция деления считается введённой.