Размерность. Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.
Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn, где n = dimXn — размерность пространства Xn.
Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.
Базис.
Определение. Упорядоченная система векторов e 1, e 2, …, e n X называется базисом в X, если
- система векторов e 1, e 2, …, e n линейно независима;
- любой вектор x пространства X может быть представлен в виде
| x = ξ1 e 1 + ξ2 e 2 + … + ξ nen. | (1) |
- Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e 1, e 2, …, e n.
- Коэффициенты ξ1, ξ2, …, ξ n в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.
40. Комплексные числа, основные понятия, определения.
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:
- Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
| a = c и b = d. |
- Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
| a + c + i (b + d). |
- Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
| ac – bd + i (ad + bc). |
Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.
Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,
|
|
Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается 
. Мы установили, что 
, а именно 
В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i 3 = 3 i. Чисто мнимое число i 1 = 1 i = i обладает удивительным свойством:
|
Таким образом: 
|
С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства 
,то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,
|
то есть как раз получается нужная формула.
