Парабола, ее определение, уравнение.

Параболой (рис.1) называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки F, называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы (рис.1):

 

y ² = 2 p x.

 

Здесь ось ОХ является осью симметрии параболы.

 

Пусть Р (х ₁, у ₁) – точка параболы, тогда уравнение касательной к параболе в данной точке имеет вид:

 

у ₁ y = p (x + х ₁).

 

Условие касания прямой y = m x + k и параболы y ² = 2 p x:

 

2 m k = p.

Понятия алгебраической операции, группоида, полугруппы и группы.

Определение алгебраической операции. Соответствие, в силу которого каждой паре a, b элементов множества M, взятых в данном порядке, соответствует единственный третий элемент с того же множества M, называется алгебраической операцией, определенной в M.

Г руппоид (тоже самое что и магма, только термин группоид старше) - множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением. Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции, других требований к операции и множеству не предъявляется.

Полугруппой называется всякое множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией. Или это группоид с ассоциативной операцией. Пример: Положительные целые числа с операцией сложения. Любая группа является также и полугруппой.

Структура: Если , то принято обозначать

Группа — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам.

Примерами групп являются действительные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п.

Определения. Непустое множество с заданной на нём бинарной операцией называется группой , если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: ;

2. наличие нейтрального элемента: ;

3. наличие обратного элемента:

 

32. Определение кольца и поля. Простейшие свойства колец и полей.

Определение кольца

Кольцом называется множество элементов, на котором определены две операции – сложение и умножение, и в выполняются следующие аксиомы:

1. R.1. Множество является аддитивной абелевой группой.
2. R.2. Для любых двух элементов и из определено их произведение: (замкнутость операции умножения).
3. R.3. Для любых трех элементов , и из выполняется ассоциативный закон, т.е. и .
4. R.4. Для любых трех элементов , и из выполняется дистрибутивный закон, т.е. справедливы равенства: и .

Определение поля

Полем называют коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент (т.е. обратный по умножению).

Другими словами, полем называют множество, которое является аддитивной абелевой группой; ненулевые же элементы этого множества образуют мультипликативную абелевую группу, и выполняется закон дистрибутивности.

По аналогии с группами число элементов поля называется порядком поля. Поля, порядки которых конечны, называются конечными полями. Конечные поля имеют наибольшее значение в теории кодирования.

Отметим некоторые свойства полей, вытекающие из их определения.

1. Для любого элемента поля .

2. Для ненулевых элементов и поля .

3. Для любых элементов и поля .

4. Если и , то .