Лекции.Орг


Поиск:




Метод Ньютона (метод дотичних). Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис




 
 

Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому (рис. 11), що дуга кривої замінюється дотичною до цієї кривої (звідси і друга назва: метод дотичних).

Припустимо, що відділенням коренів знайдено початкове наближення х 0 до кореню. В точці х 0 розраховують ліву частину розв’язуваного рівняння , а також похідну в цій точці Наступне наближення до кореню знайдемо в точці х 1, де дотична до функції , що проведена із точки , перетинає вісь абсцис. Отриману точку х 1 приймають за начальну і продовжують далі ітераційний процес. З рис. 11 видно, що таким способом можна наближатися до кореню х *. При цьому з кожною ітерацією відстань між черговим xn +1 і попереднім xn наближеннями до кореню буде зменшуватися. Процес уточнення кореню закінчується, коли виконується умова

де ε – допустима похибка визначення кореню.

З геометричних співвідношень (див. рис. 11) отримують основну формулу методу Ньютона

У загальному вигляді для n -го кроку ітераційного процесу це співвідношення запишеться наступним чином

Отже, на кожному кроці ітерації відбувається заміна графіка функції дотичною до нього.

Методу Ньютона притаманна висока швидкість збіжності ітераційного процесу (достатньо 5 – 6 ітерацій для досягнення абсолютної точності рішення 10–5 – 10–6.

Недоліком методу Ньютона є необхідність розрахунку на кожній ітерації не тільки лівої частини рівняння, але й її похідної.

Можна, дещо знизивши швидкість збіжності, обмежитися розрахунком похідної тільки на першій ітерації, а потім обчислювати лише значення , не змінюючи похідну . Цей алгоритм називають модифікованим методом Ньютона

 
 

Геометричний зміст модифікованого методу Ньютона продемонстровано на рис. 12.

Метод Ньютона можна застосовувати для уточнення коренів в області комплексних значень х, що необхідно при розв’язанні багатьох прикладних задач.

Метод січних

У методі Ньютона треба розраховувати похідну функції, що не завжди зручно. Якщо ітерації xn і xn +1 розташовані достатньо близько одна до одної, то похідну в алгоритмі Ньютона можна замінити її наближеним значенням у вигляді відношення приросту функції і приросту аргументу . Отже, можна записати формулу методу січних

Для того щоб почати ітераційний процес, необхідно задати два початкових наближення х 0 і х 1. Потім кожне нове наближення до кореню отримують за вище написаною формулою. Процес уточнення кореню закінчується при виконанні умови

де ε – задана абсолютна похибка визначення кореню.

Ітераційні процеси, в яких для розрахунку чергового наближення потрібно знати два попередніх, називають двокроковими. Ця, нібито, невелика зміна в алгоритмі сильно впливає на характер ітерацій, тому метод січних дещо уступає методу Ньютона в швидкості збіжності, але він не вимагає обчислення похідної лівої частини рівняння.

 
 

Зазначимо, що геометричний зміст змін, внесених до алгоритму Ньютона, полягає в тому, що від апроксимації функції дотичною зроблено перехід до січної (рис. 13).

За алгоритмом метод січних близький до алгоритму методу хорд, але на відміну від методу хорд початкові наближення в методі січних можуть розташовуватися як з різних боків від кореню, так і з одного боку; крім того, при уточненні кореню не повторюються знаки функції .

Метод простих ітерацій

Замінимо рівняння рівносильним рівнянням . Цього можна досягти багатьма способами, наприклад, поклавши де – довільна неперервна знакопостійна функція.

Нехай ξ – корінь цього рівняння, а х 0 – отримане якимось способом нульове наближення до кореню ξ. Підставимо х 0 в праву частину записаного вище рівняння, отримаємо деяке число Виконаємо те ж саме з х 1, отримаємо і т. д. Застосовуючи крок за кроком співвідношення для n = 1, 2, …, утворюємо числову послідовність х 0, х 1, …, хn, яку називають послідовністю наближень або ітераційною послідовністю.

 
 

Процес побудови ітераційної послідовності має просту геометричну інтерпретацію (рис. 14).

Якщо ітераційна послідовність збігається, а функція неперервна, то ліміт послідовності є шуканим коренем рівняння.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 488 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Велико ли, мало ли дело, его надо делать. © Неизвестно
==> читать все изречения...

996 - | 758 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.