Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т.е. Ν → ∞). Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.
Устойчивое решение в такой системе существует только тогда, когда λ<μ, то есть заявки должны обслуживаться с большей скоростью, чем поступают, в противном случае очередь может разрастись до бесконечности.
Вероятность того, что в системе находится п заявок, вычисляется по формуле
, n =0,1,2,…,
где 
<1.
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
;
средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
;
среднее число клиентов в очереди на обслуживание:
;
средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
; 
Пример 9.3. Вспомнив о ситуации, рассмотренной в примере 9.2, где речь идет о функционировании окна оформления в зоне таможенного контроля. Пусть рассматриваемое зона таможенного контроля в пункте пропуска располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на оформление автомобилей, т.е. длина очереди не ограничена.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:
1. вероятности состояний системы (окна оформления);
2. среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);
3. среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);
4. среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;
5. среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.
Решение.
Параметр потока обслуживания и приведенная интенсивность потока автомобилей ρ определены в предыдущем примере:
μ=0,952; ρ=0,893.
Вычислим предельные вероятности системы по формулам
P 0=1- ρ =1-0,893=0,107;
P 1=(1- ρ)· ρ =(1-0,893)·0,893=0,096;
P 2=(1- ρ)· ρ 2=(1-0,893)·0,8932=0,085;
P 3=(1- ρ)· ρ 3=(1-0,893)·0,8933=0,076;
P 4=(1- ρ)· ρ 4=(1-0,893)·0,8934=0,068;
P 5=(1- ρ)· ρ 5=(1-0,893)·0,8935=0,061 и т.д.
Следует отметить, что Р 0 определяет долю времени, в течение которого окно оформления вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10, 7%, так как Р0=0,107. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
ед.
Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
час.
Среднее число автомобилей в очереди на обслуживание:
.
Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:
час.
Относительная пропускаемая способность системы равна единицы, так как все поступившие заявки рано или поздно будут обслужены: q =1.
Абсолютная пропускная способность:
A =λ∙ q =0,85∙1=0,85.
Следует отметить, что пункт таможенного контроля, осуществляющий оформления автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит окно оформления при снятии ограничения на длину очереди.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывших автомобилей как в предыдущем примере было равно трем. Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пункт оформления автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:
m =λ∙ PN.
В нашем примере при N =3+1=4 и ρ =0,893,
m =λ∙ P 0∙ ρ 4=0,85∙0,248∙0,8934=0,134 автомобиля в час.
При 12-часовом режиме работы окна оформления это эквивалентно тому, что окно оформления в среднем за смену (день) будет терять 12∙0,134=1,6 автомобиля.
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуживаемых клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) пункта оформления. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих в зону таможенного контроля, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличие всего трех мест для стоянки этих автомобилей.
