При указанных выше предположениях СМО в любой момент времени t может находиться в одном из двух состояний: 
– в системе 0 требований (система свободна) или 
– в системе 1 требование (система занята).
Указанные состояния системы, а также переходные вероятности удобно изображать двумя способами в виде матрицы переходов или в виде графа:
|
|
 
| ||||
| 
| 
| ||||
| 
| 
|
где 
− состояние СМО в момент времени 
, если в системе в момент времени 
было n требований (в нашем случае n =0,1).
− состояние СМО в момент , если в системе находится n требований.
pik (i, k = 0, 1)− вероятность того,что система за промежуток времени от момента до момента перешла из состояния 
в состояние 
.
Для составления матрицы перехода мы должны вычислить , , , 
.
из (8.1) получим:
.
Символ 
означает ∞ малую более высокого порядка, чем 
.
Обозначим через А – событие, что за время 
в систему поступит одно требование, В – за время 
требование, находящееся в системе, будет обслужено; обозначим еще через Aik (i, k = 0, 1) переход системы за время из состояния в состояние 
. Так как входной поток пуассоновский, то имеем:
Учитывая, что время обслуживания распределено экспоненциально с показателем m, имеем:
.
Теперь мы можем вычислить p00. Принимая во внимание ординарность потока, событие А00 запишем так:
,
т.е. за время 
либо ни одно требование не поступит в систему, либо поступит одно (не более) и за время 
оно будет обслужено. Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения для независимых событий A и B (предположение 3), получим:
.
Далее, событие А01 означает, что за время 
в СМО поступит одно требование, но обслужено за это время оно не будет.
.
Событие A10 означает, что за время 
требование, находящееся в СМО, будет обслужено и ни одно новое требование не поступит. Таким образом,
.
A11 – событие, которое может осуществится так: либо требование, находящееся в системе, за время 
еще не будет обслужено, либо оно будет обслужено и за это время в систему поступит одно новое требование; поэтому 
,
.
Теперь ясно, что матрица и граф переходов выглядят так:
|
|
|
|
|
| 
| 
|
|
| 
| 
|
Перейдем к решению следующей важной задачи: нахождению вероятностей 
и 
пребывания системы в каждом из возможных состояний. С этой целью составим дифференциальное уравнение для нахождения вероятности 
(заметим, что 
).
Ясно, что 
есть вероятность того, что в момент 
в СМО не окажется ни одного требования. Это событие может осуществиться в условиях одной из несовместимых гипотез, образующих полную группу событий:
– в момент времени t система находится в состоянии 
,
– в момент времени t система находится в состоянии 
.
Используя формулу полной вероятности, получим:
.
Далее,
,
.
Разделив обе части равенства на 
и перейдя к пределу при 
, имеем:
.
Начальное условие естественно взято такое 
. Решая это линейное уравнение стандартным способом 
(сделайте это самостоятельно), получаем:
.
Эта функция в начальный момент времени равна 1, затем быстро убывает, асимптотически приближаясь к величине 
. Это означает практически, что, начиная, с некоторого момента времени, вероятность, 
зависеть от времени перестает и становится постоянной; постоянной будет, конечно, и 
. Эти величины равны соответственно:
, 
.
В таких случаях говорят, что в системе установился стационарный режим работы. Обозначим через 
величину отношения
,
которую будет называть коэффициентом загрузки системы или интенсивностью нагрузки канала или же предельной интенсивность потока заявок (напомним, что 
– среднее число требований, прибывающих в систему за единицу времени, а 
– среднее число обслуженных требований или интенсивность обслуживания). Вероятности застать систему свободной и застать ее занятой соответственно равны теперь:
.
Ясно, что чем больше коэффициент загрузки 
, тем больше вероятность отказа системы. Это не выгодно потребителю (но выгодно организатору системы, ибо мала вероятность простоя Ро). Если уменьшить коэффициент загрузки, то уменьшится вероятность отказа СМО (это выгодно потребителю), но увеличится вероятность простоя (что не выгодно организаторам системы). Мы имеем дело, таким образом, с противоположными тенденциями и, следовательно, необходимо решать задачи оптимизации режима работы СМО.
Итак, п ростейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид
,
где λ— интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).
Плотность распределения длительностей обслуживания:
,
где 
– интенсивность обслуживания, tоб – среднее время обслуживания одного клиента.
Пусть система работает с отказами. Можно определить абсолютную и относительную пропускную способность системы. Относительная пропускная способность равна доли обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле: 
. Эта величина равна вероятности Р 0 того, что канал обслуживания свободен. Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
.
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят»:
Данная величина Ротк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.
Пример 9.1. Пусть инспектор отдела таможенного оформления и контроля (ОТО и ТК) может обработать только одну декларацию на товары (ДТ) в определенный период времени. Заявки на обслуживание – ДТ, поступающие на обработку. Тогда ДТ, поступившая к нему когда он занят получает отказ в обслуживании. В этом случае инспектор ОТО и ТК представляет собой одноканальную СМО с отказами. Интенсивность поступления заявок в систему λ= 1,0 (ДТ в час). Средняя продолжительность обслуживания — tоб=1,8 часа.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
а) коэффициент загрузки системы;
б) относительную пропускную способность q;
в) абсолютную пропускную способность А;
г) вероятность отказа Ротк.
Решение.
Определим интенсивность потока обслуживания:
.
Определим коэффициент загрузки системы:
.
Вычислим относительную пропускную способность:
.
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих инспектору заявок.
Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А=λ×q= 1×0,356 = 0,356.
Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания ДТ в час.
Вероятность отказа:
Ротк =1- q =1-0,356=0,644.
Это означает, что около 65% поступивших ДТ на пост обслуживания получат отказ в обслуживании.
