Числовые характеристики непрерывных случайных величин

 

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [ a,b ].

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

(39)

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

(40)

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

(41)

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

(42)

Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

(43)

Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

(44)

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Медианой M_D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

(45)

(46)

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Пример. Для примера 1 определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

 

Ход работы

 

1. Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебник).

2. Выполнить задание по своему варианту.

3. Составить отчет по работе.

4. Защитить работу.

 

Содержание отчета

 

1. Тема.

2. Цель работы.

3. Ход работы.

4. Решение своего варианта.

 

8.4 Варианты заданий для самостоятельной работы

 

Вариант №1

 

1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

 

 

Найти плотность распределения f(х).

2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

 

 

Найти функцию распределения F(x). Построить графики обоих функций.

Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1,5; 2).

3. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. Для распределения из задания 1 найти моду и медиану.

 

Вариант №2

 

1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения f(х).

2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x). Построить графики обоих функций.

Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 2,5).

3. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. Для распределения из задания 1 найти моду и медиану.

 

Вариант №3

 

1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

 

 

Найти плотность распределения f(х).

2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

 

 

Найти функцию распределения F(x). Построить графики обоих функций.

Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1,5; 2).

3. Случайная величина Х задана плотностью распределения f (x) = 2 x на интервале (0;1), а вне этого интервала f (x) = 0. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. Для распределения из задания 1 найти моду и медиану.

 

Вариант №4

 

1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения f(х).

2. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x). Построить графики обоих функций.

Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 2,5).

3. Случайная величина Х задана плотностью распределения f (x) = 1/2 x на интервале (0;2), а вне этого интервала f (x) = 0. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

4. Для распределения из задания 1 найти моду и медиану.

 

 

Вопросы к защите практической работы №8

 

1. Что такое плотность распределения? Свойства плотности.

2. Вероятность смысл плотности.

3. Что такое математическое ожидание НСВ? Формула вычисления.

4. Что такое дисперсия НСВ? Формула вычисления.

5.Что такое среднее квадратическое отклонение НСВ? Формула вычисления.

6. Что такое мода, медиана?

 

 

Практическая работа №9

 

Тема: Вычисление вероятностей для нормально распределённой величины; вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределённой величины.

 

Цель работы: Изучить функцию плотности нормально и показательно распределенной НСВ, смысл параметров а и , интегральную функцию распределения нормально и показательно распределенной НСВ. Научиться вычислять вероятности для нормально и показательно распределенной НСВ, находить характеристики для показательно распределенной НСВ.