Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.
Вероятность появления красного шара (событие А):
.
Вероятность появления синего шара (событие В):
.
События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения (7) применима.
.
Ответ: Вероятность появления цветного шара равна 
.
Пример 2.В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей есть хотя бы одна стандартная.
Решение: Обозначим: событие А – «из 2 деталей, 1 стандартная»; событие В – «из 2 деталей, 2 стандартных».
Составим схему для события А (см. рисунок 2).
8 станд. 2 нест.
1 станд. и 1 нест.
|
Рис. 2 – Схема события А
Составим схему для события В (см. рисунок 3).
8 станд. 2 нест.
2 станд. и 0 нест.
|
Рис. 3 – Схема события В
События А и В несовместны, поэтому теорема сложения (7) применима.
.
Ответ: Вероятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей есть хотя бы одна стандартная, равна 
.
Пример 3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.
Решение: Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), равна
.
Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность равна
.
По теореме умножения (10), искомая вероятность равна
.
Ответ: вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй – эллиптический равна 
.
Пример 4. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трёх орудий таковы: 
; 
; 
. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение: Вычислим вероятности противоположных событий.
,
,
.
Искомая вероятность по формуле (11) получается
Ответ: вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий равна 
.
Пример 5. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?
Решение: По условию задачи р=0,4, P(A)=0,9. Вычислим вероятность противоположного события
Воспользуемся формулой (12) и найдем n. Подставив известные значения в формулу (12), получим:
.
Преобразуем полученное показательное неравенство:
,
,
.
Прологарифмируем обе части показательного неравенства по основанию 10.
,
,
,
.
Ответ: Стрелок должен произвести не менее пяти выстрелов.
Пример 6. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трёх испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании.
Решение: Воспользуемся формулой (12) и найдем q. Подставив известные значения в формулу (12), получим
,
,
.
По теореме противоположных событий (9) получаем:
.
Ответ: Вероятность появления события в одном испытании равна 
.
Пример 7. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.
Решение: Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».
Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие 
), либо из второго (событие 
).
Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, равна
.
Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, равна
.
Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, равна
.
Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, равна
.
Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности (13) равна
.
Ответ: Вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная, равна 
.
Пример 8. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролёру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролёром, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролёр.
Решение: Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:
1) деталь проверил первый контролёр (гипотеза );
2) деталь проверил второй контролёр (гипотеза ).
Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролёр, найдем по формуле (14).
По условию задачи имеем:
Вероятность того, что деталь попадает к первому контролёру, равна
.
Вероятность того, что деталь попадет ко второму контролёру, равна
.
Вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролёром стандартной, равна
.
Вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролёром стандартной, равна
.
Подставляя найденные значения в формулу (14) получаем
.
Ответ: Вероятность того, что эту деталь проверил первый контролёр, приблизительно равна 
.
Ход работы
1) Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебники, данные методические указания).
2) Выполнить задание по своему варианту.
3) Составить отчет по проделанной работе.
4) Ответить на контрольные вопросы к данной работе.
5) Защитить выполненную работу.
Содержание отчета
1) Тема.
2) Цель работы.
3) Ход работы.
4) Решение своего варианта.
Варианты заданий для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Среди ста лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.
2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
3. Студент сдаёт в сессию три экзамена. Вероятности того, что студент сдаст первый экзамен 0,7, второй – 0,6, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст только один экзамен.
4. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?
5. На сборочное предприятие поступили комплектующие с трёх заводов в количестве: 35 – с первого завода; 25 – со второго завода; 40 - с третьего завода. Вероятность качественного изготовления изделия на первом заводе 0,6; на втором – 0,8; на третьем – 0,7. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?
Вариант 2
1. В коробке 9 одинаковых радиоламп, 3 из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.
3. По цели стреляют три стрелка. Вероятность попадания первым по мишени P1=0,7, вторым P2=0,8, третьим P3=0,9. Найти вероятность того, что третий попадет, а остальные промахнутся.
4. Пусть вероятность попадания в движущуюся цель при одном выстреле равна 0,5. Сколько необходимо сделать выстрелов для того, чтобы с вероятностью не меньшей 0,75, иметь хотя бы одно попадание?
5. На склад поступило 1500 изделий с первой фабрики и 2000 изделий со второй. Известно, что вероятность изготовления нестандартного изделия среди продукции первой фабрики равна 0,03, второй – равна 0,02. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным.
Вариант 3
1. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет четное число очков, а на втором – число, меньшее 6?
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,9. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет хотя бы один из стрелков.
3. По цели стреляют три стрелка. Вероятность попадания первым по мишени P1=0,7, вторым P2=0,8, третьим P3=0,9. Найти вероятность того, что первый попадет, а остальные промахнутся.
4. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0,45. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,6 он попал в десятку хотя бы один раз?
5. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что вероятность бракованной детали первого автомата 0,03, второго – 0,02 и третьего – 0,04. Найти вероятность того, что на сборку попадет бракованная деталь, если с первого автомата поступает 100, со второго – 200, с третьего – 250 деталей.
Вариант 4
1. Имеется 3 ящика, содержащих 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.
2. Студент сдаёт в сессию три экзамена. Вероятности того, что студент сдаст первый экзамен 0,8, второй – 0,7, третий – 0,9. Найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы один экзамен.
3. По цели стреляют три стрелка. Вероятность попадания первым по мишени P1=0,7, вторым P2=0,8, третьим P3=0,9. Найти вероятность того, что третий попадет, а остальные промахнутся.
4. Пусть вероятность попадания в движущуюся цель при одном выстреле равна 0,65. Сколько необходимо сделать выстрелов для того, чтобы с вероятностью не меньшей 0,85, иметь хотя бы одно попадание?
5.Была проведена одна и та же контрольная работа в трех группах. В первой группе из 30 студентов 8 выполнили работу на «отлично», во второй, где 28 студентов, – 6 «отличных» работ, в третьей, где 27 студентов, – 9 работ выполнены на «отлично». Найти вероятность того, что первая выбранная наудачу работа из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана наудачу, окажется «отличной».
Вопросы к защите практической работы №3
1) Дать определение суммы событий. Привести пример.
2) Сформулировать теорему сложения вероятностей несовместных событий.
3) Какие события называют противоположными? Примеры.
4) Сформулировать теорему о сумме вероятностей противоположных событий.
5) Дать определение произведения событий.
6) Дать определение условной вероятности.
7) Сформулировать теорему умножения вероятностей.
8) Какие события называются независимыми?
9) Сформулировать теорему вероятности появления хотя бы одного события.
10) Формула полной вероятности.
11) Формулы Байеса.
Практическая работа №4
Тема: Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли.
Цель работы: Изучить понятие схемы Бернулли, формулу Бернулли, локальную и интегральную формулы Муавра – Лапласа. Научиться вычислять вероятности событий в схеме Бернулли, применять локальную и интегральную формулы Муавра – Лапласа к решению задач.
