Тема7.Изгиб прямых брусьев

Эта тема является самой большой и самой сложной темой курса сопротивления материалов; её следует изучать постепенно, обращая особое внимание на решение задач. Сначала надо усвоить важные понятия изгибающего момента M и поперечной силы Q и научиться свободно строить эпюры M и Q. Инженеры-механики изображают эпюры моментов на сжатых волокнах, тогда как инженеры строительных специальностей традиционно показывают эпюры моментов на растянутых волокнах.

Необходимо помнить, что поперечная сила в данном сечении равна алгебраической сумме проекций сил, расположенных только по одну сторону от рассматриваемого сечения, на перпендикуляр к оси балки, а изгибающий момент в данном сечении равен алгебраической сумме моментов сил, расположенных только с одной стороны, относительно центральной оси поперечного сечения.

Обратите внимание на неравномерность распределения нормальных напряжений по высоте балки и на то, что прочность балки зависит от значения момента сопротивления W. Надо ясно представлять, каким путем можно увеличить момент сопротивления без увеличения расхода материала.

Рекомендуется сравнить между собой эпюры s и t, построенные для балки прямоугольного поперечного сечения. Наибольшее и наименьшее нормальные напряжения (главные напряжения) находят по формуле

 

.

 

Внимательно изучите вопрос о центре изгиба. В работе В.З. Власова "Тонкостенные упругие стержни" этот вопрос рассмотрен более подробно и дана законченная теория изгиба и кручения тонкостенного профиля произвольного очертания.

После этого следует перейти к изучению деформаций при изгибе. Правая часть дифференциального уравнения изогнутой оси балки содержит выражение изгибающего момента в произвольном сечении, для которого находят перемещения (углы поворота и прогибы); M (z) – величина переменная; только в случае чистого изгиба M (z) = const. Надо хорошо понять геометрический смысл постоянных интегрирования; разделив их значения на EJ, получим соответственно угол поворота и прогиб в начале координат.

При нескольких участках, когда изгибающий момент от сосредоточенных сил или моментов выражается различными уравнениями, необходимо интегрировать без раскрытия скобок. Распределённую нагрузку, если она на каком-либо участке обрывается, следует преобразовать, продолжив её до конца балки и добавив нагрузку противоположного направления.

В результате можно получить общие уравнения углов поворота и прогибов, которыми и следует пользоваться при решении задач аналитическим методом. Обычно начало координат помещают на левом конце балки и общие уравнения углов поворота и прогибов пишут так:

;

 

.

Здесь , , – соответственно абсциссы точек приложения сосредоточенного момента M, силы P, начала равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q; знаки сумм распространяются на все нагрузки, расположенные слева от того сечения балки, для которого находят прогиб и угол поворота. Величины y ₀, q₀, M ₀, Q ₀, обозначающие соответственно прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в начале координат, называются начальными параметрами. В связи с этим метод определения деформаций балки с помощью написанных выше уравнений называют методом начальных параметров. Два начальных параметра из четырёх известны при любом способе закрепления левого конца балки. Действительно, для защемлённого конца y ₀ = 0 и q₀ = 0; для шарнирно опёртого конца y ₀ = 0 и M ₀ = 0 (если на левом конце приложен момент M, то M ₀ = M); для свободного конца Q ₀ = 0 (если на левом конце приложена сила P, то Q ₀ = P) и M ₀ = 0 (или M ₀ = M).

Для статически определимой балки начальные параметры Q ₀ и M ₀легко найти с помощью уравнений статики; таким образом, в случае защемлённого левого конца известны все четыре начальных параметра, в случае шарнирно опёртого конца неизвестна только величина q₀, в случае свободного конца неизвестны y ₀ и q₀. Неизвестные начальные параметры находят из условий закрепления балки: например, для балки, свободно лежащей на двух шарнирных опорах, при определении q₀ надо использовать условие, что прогиб на правой опоре равен нулю.

Метод начальных параметров пригоден и для расчёта статически неопределимых балок постоянной жёсткости.

После изучения этой темы можно решать задачу 15, включённую в контрольные работы.

 

 

Литература:[4, гл. 7, 9, 10]; [5, гл. 7]; [6, гл. 6, задачи: 1, 2, 5, 16, 20, 23, 31, 39, 42, 44, 47, 57, 67, 78, 87; гл.7, задачи: 1, 3, 5, 6, 7, 11, 17, 19, 28, 40, 58, 59, 70; гл. 8, задачи: 1, 23, 24; гл. 9, задачи: 4, 7, 9]; [7, гл. 8, 9, 10].

 

Вопросы для самопроверки

67. Как находят изгибающий момент в каком-либо сечении балки?

68. В каком случае изгибающий момент считается положительным?

69. Как находят поперечную силу в каком-либо сечении балки?

70. Когда поперечная сила считается положительной?

71. Какова зависимость между величинами M и Q?

72. Как находят максимальный изгибающий момент?

73. Какой случай изгиба называется чистым изгибом?

74. По какой кривой изогнётся балка в случае чистого изгиба?

75. Как изменяются нормальные напряжения по высоте балки?

76. Что называется нейтральным слоем и где он находится?

77. Что называется моментом сопротивления при изгибе?

78. Как выгоднее положить балку прямоугольного сечения при работе на изгиб: на ребро или плашмя?

79. Какое сечение имеет больший момент сопротивления при одинаковой площади: круглое или квадратное?

80. В каких плоскостях возникают касательные напряжения при изгибе, определяемые по формуле Журавского?Как их находят?

81. Как находят главные напряжения при изгибе?

82. Какие напряжения появятся в балке, если плоскость действия нагрузки не пройдёт через центр изгиба?

83. Как пишется общее дифференциальное уравнение изогнутой оси балки?

84. Как находят постоянные интегрирования при изгибе балки?

85. Как определяют наибольшее значение прогиба?