Тема 7. Практическое приложение теории

ФИНАНСОВОЙ РЕНТЫ

Страховые аннуитеты

Пример 29

Определить стоимость немедленного пожизненного аннуитета для 40-летнего страхователя при ежегодной выплате 1 тыс.руб.

Возраст страхователя х = 40, воспользуемся формулой для определения стоимости пожизненного аннуитета (см. Приложение «Страховые аннуитеты»).

Д40

(тыс.руб.).

Для того чтобы пожизненно получать в конце года 1 тыс.руб. необходимо заплатить единовременный взнос 13,82 тыс.руб.

Если выплаты отложены на 5 лет, то

Д40

(тыс.руб.).

Как видно стоимость отложенного аннуитета меньше, чем немедленного.

 

Пример 30

Необходимо определить единовременную нетто-премию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 40 лет. Размер годовой пенсии 10 тыс.руб. Выплаты пренумерандо с 60 лет пожизненно.

Решение.

Страховой аннуитет пренумерандо отложенный на 20 лет, пожизненный, поэтому его стоимость определяется по формуле:

Д40

₂₀ ä ₄₀ = (тыс.руб.).

Нетто-премя равна 10 х 2,92 = 29,2 (тыс.руб.).

Если бы пенсия страховалась в 60 лет, то аннуитет был бы немедленный. Нетто-премия немедленного аннуитета равна:

Д60

10000 · ä₆₀ = (руб.)

Необходимо отметить, что все расчеты в примерах проводятся по общей таблице смертности и коммутационных чисел и использованием нормы доходности 5%.

 

Сберегательное (трастовое) обеспечение пенсий.

 

Пример 31

Пусть выплаты пренумерандо мужчине должны производиться с 60 до 75 лет в размере 10000 руб. в год. Используется процентная ставка 9%. Возможны случаи:

а) мужчина заключает договор в 60 лет, выплаты с 60 лет;

б) мужчина заключает договор в 30 лет, а выплаты – пренумерандо начинаются с 60 лет.

Определить размер единовременного взноса.

Решение.

В случае а описана немедленная ограниченная рента пренумерандо. Размер единовременного взноса определим по формуле современной стоимости ренты – пренумерандо (см. Приложение «Аннуитет (рента) пренумерандо»).

Ä ₆₀ = (руб).

В случае б мы имеем отложенную на 30 лет ренту пренумерандо.

₃₀Ä ₆₀ = (руб).

То есть в 30 лет мужчина заплатит единовременный взнос 6620 руб., чтобы с 60 лет в течение 15 лет получать ежегодно по 10000 руб.

Если бы речь шла о страховой пенсии, то стоимость 15-летней выплаты пенсии в 60 лет составляла бы:

Д60

10000 · ä _{60, 15} = 10000 (руб).

В случае отложенного аннуитета:

Д30

10000 ·₃₀ ä_{30, 15} = 10000 (руб).

 

Как видно стоимость страхового обеспечения пенсиями заметно ниже сберегательного при всех прочих равных условиях. Однако страховые схемы в отличие от сберегательных не предусматривают наследование остатков средств на счете страхователя в случае его смерти.

 

Пример 32

Клиент желает приобрести в банке ренту с ежегодной выплатой ему, а в случае смерти – жене или детям 10000 долл. ежегодно в течение пяти лет. Банк использует ставку 50% в месяц. Необходимо оценить размер единовременного взноса на момент продажи в случаях:

а) рента выплачивается немедленно в конце года;

б) рента отложена на 3 года.

Решение.

В случае а) описана немедленная рента постнумерандо, начисление процентов идет ежемесячно, т.е. используется номинальная ставка 6% при m=12. Необходимо использовать форму современного значения для годовой ренты с начислением процентов m раз в году (см. Приложение «Аннуитет (рента) постнумерандо»).

 

 

В случае б) рента отложена на 3 года:

 

Как видно стоимость отложенной ренты существенно дешевле немедленной ренты.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дайте определение страховому аннуитету. Почему для страховых аннуитетов используется математика условных рент?

2. Почему при трастовом обеспечении пенсий используется математика верных рент?

3. Какой аннуитет дешевле для страхователя: немедленный или отсроченный?

4. Какой аннуитет дешевле для страхователя: пожизненный или срочный?

5. Какой аннуитет дешевле для страхователя: постнумерандо или пренумерандо?

ЗАДАЧИ

1. Рассчитать страховой аннуитет постнумерандо для мужчины в возрасте 50 лет. Норма доходности 5%.

а) выплаты ежегодные, немедленные, пожизненные;

б) выплаты ежегодные отложены на 10 лет, пожизненные;

в) выплаты производятся в течение 10 лет, начиная с 50 лет;

г) выплаты отсрочены на 5 лет, производятся в течение 10 лет.

 

2. Рассчитать страховой аннуитет пренумерандо по условиям задачи 1. Сравнить результаты с результатами задачи 1.

 

3. Рассчитать единовременную нетто-премию по условиям Задачи 1, при условии, что размер годовой пенсии составляет 9 000 рублей.

 

4. Найти современную величину ренты постнумерандо при условии, что ежегодные платежи составляют 4 тыс.руб. в течение 5 лет и использовании ставки сложных процентов 18,5% годовых. Какова стоимость отложенной ренты на 1,5 года.

 

5. Рассчитать стоимость аннуитета при трастовом обеспечении пенсий по условиям в), г) задачи 1 (норма доходности 5%). Сравнить стоимость страхового аннуитета, трастового аннуитета, объяснить различия.

 

6. Рассчитать размер единовременной премии, если страховщик выплачивает 1 д.е. в течение всей жизни в конце каждого года, если застрахованному 45 лет. Норма доходности 5%.

 

7. Рассчитать размер единовременной премии, при отсрочке пожизненных платежей на 3 года и уплате их страховщиком в конце каждого года по 1 д.е. Страхователю 43 года, норма доходности – 5%.

 

8. Рассчитать размер единовременной премии при отсрочке пожизненных платежей на 2 года, если страхователю 41 год. Норма доходности – 5%.

 

9. Рассчитать нетто-премию страхователя в возрасте 43 года, если по условиям договора страховщик должен выплачивать по 1 д.е. в конце каждого года по 1 д.е. в течение ближайших 3-х лет. Норма доходности – 5%.

 

10. Возраст страхователя – 41 год, выплаты по 1 д.е. в течение ближайших 5 лет. Определить единовременный взнос страхователя. Норма доходности – 5%.

 

11. Клиент заключает договор с банком о выплате ему или его семье (в случае смерти) ежегодной ренты (пренумерандо) в течение 5 лет в размере 10000 д.е. Банк использует процентную ставку 2% годовых. Определите размер единовременного взноса для случаев немедленной ренты и отложенной на 3 года.

 

12. Единовременный взнос клиента составляет 10000д.е. Какой доход будет получать клиент через 5 лет в конце каждого месяца на протяжении следующих четырех лет при использовании ставки 2% годовых?

 

13. Мужчина в возрасте 40 лет заключил договор пенсионного страхования согласно которому он будет получать 12000д.е. в конце каждого года в течение 5 лет начиная с 60 лет. Норма доходности равна 5% годовых. Определите размер единовременной нетто-премии при заключения договора.

 

14. Рассчитайте размер единовременной нетто-премии по условиям задачи 13, если пенсия в размере 1000д.е. ежемесячно выплачивается пожизненно.

 

15. Рассчитайте размер единовременного взноса при трастовом обеспечении пенсий по условиям задачи 13. Поясните какой вариант дешевле для клиента. Рассчитайте задачу 15 для процентной ставки 8% годовых. Поясните как величина процентной ставки влияет на стоимость ренты.

 

16. Единовременный взнос клиента составляет 15000 руб. Какой доход будет получать клиент в конце каждого года на протяжении следующих 3 лет при использовании ставки 5%, если выплаты производятся начиная со следующего года? Если выплаты отложены на 2 года?

 

17. Рассчитать размер единовременной нетто-ставки для страхователя в возрасте 45 лет, если выплаты отложены на 5 лет и производятся в конце года в течение всей жизни. Норма доходности 5%.

 

18. Рассчитать размер единовременной нетто-ставки по условиям задачи 17, если выплаты производятся в течение 5 лет.

 

19. Клиент заключает договор о выплате ему ежемесячного дохода 1000 д.е. в течение 5 лет. Банк использует процентную ставку 8% годовых. Рассчитать размер единовременного взноса, если выплаты – постнумерандо отложены на 2 года.

 

20. Что дешевле для 40-летнего клиента:

- заключить договор страхования на 5 лет

- заключить договор с банком о выплате ренты в течение 5 лет.

В обоих случаях выплаты производятся в конец года начиная и немедленно, используется ставка – 5%.