ЛОГИКА ДРЕВНИХ САЖЕНЕЙ
Выше упоминалось, что в Древней Руси имело хождение множество соизмерительных инструментов — саженей. Вот уже почти два столетия ученые пытаются привести это множество к минимальному количеству типоразмеров и пока безуспешно. И эти неудачи не случайны. Во всех работах по системам мер сажени рассматриваются только как измерительные инструменты, имеющие строго определенную длину и единственный способ применения — измерение. По сформулированной за два столетия метром логике измерительный инструмент должен с большой точностью делиться на некоторое количество одинаковых мерных единиц, обычно кратных «круглому числу». Например, метр делится на 10 дециметров, дециметр делится на 10 сантиметров и т.д. Сам по себе метр является стандартной величиной, десятимиллионной долей от одной четверти парижского меридиана, и получение его эталонной длины — достаточно сложная, продолжительная и дорогостоящая операция. А потому раз полученный эталонный отрезок в виде выверенного платинового стержня уже почти 200 лет хранится в футляре при постоянной температуре, давлении и влажности. И даже в этих условиях требуется уточнение его длины.
Возникают вопросы: А какими же методами производилось хранение измерительных инструментов в древности? Имеет ли смысл говорить об их точности? И не является ли требование точного измерения длины саженей логическим отголоском привычного использования стандартной единицы длины — метра? Ведь «хранение» это длилось тысячи лет со времен Древнего Египта, если не ранее [19]. К тому же никаких эталонов не найдено. Требовать от таких инструментов точности при отсутствии даже намеков на эталоны не приходится. И тем не менее...
Сооружения как Древней Руси, так и Древнего Египта своей соразмерностью, пропорциональностью и эстетической красотой, предназначенностью для облагораживающего воздействия на людей намного превосходят типовые и не типовые «коробки» XIX и XX вв. — детища очень точного стандартного метра.
Эта соразмерность и эстетическая красота сооружений — следствие особой, подвижной функции взаимосвязанного комплекса древнерусских саженей, заключающаяся в том, что их основное назначение — соизмерение, а потому они — не статические линейки, а остановленные длиною продолжающиеся динамические процессы.
Переведенные по длине, для облегчения пользования, в привычные для нас сантиметры, сажени, тем не менее, не обладают «настоящими» длинами. Сажени не являются измерительным инструментом и потому сами не имеют длины, хотя и применяются иногда для измерения. Как и тела не имеют размерности, так и сажени не обладают метричностью. Сажени — инструмент соизмерения, инструмент пропорционирования, поэтому их метрический модуль является бесконечным иррациональным числом, округленным до 4-го знака. А их диагональ слева направо снизу вверх есть не что иное как ряд золотой пропорции.
В матрице А.А. Пилецкого сажени по этой причине являются абстрактным выражением бесконечного процесса, приняв-У шего форму конечных отрезков. Каждая сажень имеет как бы, свою внутреннюю единицу измерения длины, нам неизвестную, отличную от всех остальных длин, и обусловленную собственным процессом молекулярного деления.
Фактически каждая сажень является одним из тех иррациональных отрезков-процессов, которые получаются делением отрезка любой длины в крайнем и среднем отношениях. Складывая или деля сажени, мы складываем или делим не отрезки длины, а процессы, бесконечности, а результаты деления
или сложения как бы представляем целыми и неделимыми (?) отрезками. И потому вновь образовавшийся «отрезок» не является частью какого-то процесса, а представляет собой целое как новый самостоятельный процесс. В этом заключается основное качественное отличие саженей от метра. Метр — статическая измерительная единица, эталон, предназначенный для сопоставления с собой всех измеряемых тел. Сажень — соиз-мерителъный процесс, обусловливающий нахождение соразмерности частей тел процессу, а следовательно, и самому телу. Метр фиксирует существующие пропорции, умертвляя их статичностью. Сажень соразмеряет пропорции процессом, оживляя их. Ибо все, что движется, соразмеренно живет.
Именно соразмерность определяет принципы разделения саженей на элементы. Являясь отрезком-процессом бесконечной длины, не отмеряемым ни к одному, ни к другому концу, сажень не может быть измерена никаким мерным инструментом.
Отрезок, имеющий один конец на бесконечности, обладает и другим концом, уходящим в бесконечность. И хотя для нас, для внешней системы, каждый из его концов конечен, и мы его определяем как конечный внешний измерительный инструмент, он остается для себя системой бесконечной, двигаясь в которой (если допустить, что нам в эту систему удалось попасть) от одного конца к другому никогда не дойти.
Разделить такой отрезок на две конечные части или отрезать от него, в его системе, отрезок конечной длины невозможно, ибо для такого отрезка не существует соизмеримого и неизменного эталонного элемента, кратного всему отрезку. Да и две разновеликие половинки — результат осуществленного разделения —сразу же изменят свои внутренние параметры. К тому же, как показывает деление в крайнем и среднем отношения, отрезок иррациональной длины не имеет места, находящегося точно по его центру, и деление его на 2 обусловливает появление двух иррациональных, как бы сопоставимых, но не соизмеримых по мерности отрезков-процессов.
А потому деление древних сажений-процессов возможно только на 2. Раздвоение саженей или их элементов приводит к появлению в качестве остатков только двух «бесконечно-конечных» длин. Растроение сажени, деление ее на 3, 5, 6, и т.д. частей невозможно, ибо создает условия для появления между бесконечными отрезками отрезков конечных, соизмеримых некоторому мерному инструменту, но не соразмерных, а следовательно, не являющихся процессами и не пригодных для соизмерения. Округление иррациональных раздвоенных отрезков в любых измерениях скрывает движение. Иррациональные числа, по С.Громову, — «не завершенные числа, как бы требующие постоянного довычисления», а потому динамические числа, и свойства их определяются динамической геометрией, представление о которой только начинают складываться в современной науке [9]. Кратко они сводятся к следующему.
В отличие от статической геометрии, в которой точка — геометрический объект, лишенный протяженности, а прямая, имея один ранг с точкой, представляет собой как бы слившиеся в длину точки и потому завершается с каждой стороны конечной точкой, в геометрии динамической точка есть сфера одного ранга, не имеющая центра, т.е имеющая радиус бесконечной длины, а прямая — слившиеся в одну цепочку точки другого, «меньшего» ранга. И завершается такая динамическая прямая пересечением границы предыдущей по рангу сферы-точки и устремлением по радиусу к ее отсутствующему центру, т. е. в бесконечность. Деление динамического отрезка сопровождается изменением в месте деления ранга «концевых» точек и превращением их в точки «большего» ранга, т.е. процессом движения по радиусу новых концов в бесконечность. Сложение вновь полученных, бесконечных отрезков не образует единого сдвоенного, как в статической геометрии, отрезка, а приводит к возникновению как бы составного, через точку другого ранга, отрезка. Так, диаметр любой окружности в динамической геометрии состоит, а не слагается, из двух бесконечных радиусов несоизмеримых с длиной образуемой ими окружности. Несоизмеримость проявляется всегда в виде трансцендентного числа при делении окружности на составной диаметр или на удвоенный радиус. Удвоение и есть составление двух бесконечностей в одну.
Эти процессы удвоения-раздвоения динамической геометрии положены, по-видимому, некоторой цивилизацией в основу системы древних саженей. Они определяют первую особенность изменения мерности соразмерных инструментов — получение отрезков меньшей длины последовательным делением их на 2. В матрице А.А. Пилецкого эта последовательность деления отображена рядом нисходящих под численной величиной каждой
сажени чисел, образуемых последовательным делением ее на 2. Количество этих чисел, включая саму сажень, равно 6. Как было показано, они имеют следующие названия: сажень, полсажени, четверть сажени — локоть, восьмая часть сажени — поллоктя — пядь, шестнадцатая часть — полпяди или два вершка, или пясть, и тридцать вторая часть сажени — вершок или полпясти.
На вершке раздвоение заканчивается, хотя могло бы, как пред полагал А.А. Пилецкий, и продолжаться бесконечно. Вершок является завершающим элементом, соразмерности. Он приобретает два функциональных назначения: с одной стороны, осуществляя функции соразмерности, а с другой, являясь измерительным инструментом. Он единственный среди элементов сажени может делиться на любое число, образуя измерительное частное, прибавление которого к любому элементу сажени превращает этот элемент из соизмерительного в измерительный, т.е. меняет его статус и качество с динамического на статическое, что делает невозможным участие его частей в процессе соизмерения. Ниже я попробую разобраться, чем обусловлено измерительное качество вершка, а пока отмечу, что существование шести раздвоенных элементов одной сажени является второй особенностью комплекса древних саженей.
Третья особенность заключается в существовании взаимосвязи элементов каждой сажени матрицы 3 с элементами всех остальных саженей. Следствием данных взаимосвязей становится свойство матричной вязи [19], позволяющее находить посредством четырех действий арифметики, и в первую очередь сложения и вычитания, по элементам двух различных саженей элементы всех остальных саженей. Простейшей из операций матричной вязи является правило сложения и вычитания Фибонначи: сумма двух последовательных чисел по диагонали слева направо снизу вверх равна верхнему числу. Например, возьмем локоть казенный 54,4 см, сложим его с полсаженью народной 88,0 см и получим малую сажень 142,4 см.
Правило сложения Фибонначи, как и матричная вязь матрицы 11, базируется на пропорциональности двух любых чисел диагоналей слева направо снизу вверх золотому числу Ф.
Четвертую особенность можно показать на примере совместного анализа трех ранее рассмотренных саженей: найденную Б.А. Рыбаковым — московскую, предлагаемую А. Черновым — новгородскую и наиболее полную систему — А.А. Пилецкого. Сведем их в одну таблицу 7 и выясним, чем они отличаются кроме длины:
Таблица 7
| Номера строк | Пропорции А.А. Пилецкого | |||||||||||
| 258,4 | ||||||||||||
| 244,0 | 197,4 | 159,7 | ||||||||||
| 284,8 | 230,4 | 186,4 | 150,8 | |||||||||
| 217,6 | 176,0 | 142,4 | ||||||||||
| 134,5 | ||||||||||||
| Пропорции Б.А. Рыбакова | ||||||||||||
| 0,00 | ||||||||||||
| 249,5 | 197,2 | 0,00 | ||||||||||
| 0,00 | 187,1 | 152,8 | ||||||||||
| 216,0 | 176,4 | 0,00 | ||||||||||
| 0,00 | ||||||||||||
| Пропорции А. Чернова | ||||||||||||
| 0,00 | ||||||||||||
| 248,4 | 196,3 | 158,9 | ||||||||||
| 0,00 | 0,00 | 0,00 | ||||||||||
| 215,7 | 176,4 | 142,1 | ||||||||||
| 0,00 | ||||||||||||
Итак, можно констатировать, что все три набора саженей имеют одну и ту же структуру взаимосвязи, но набор А.А. Пилецкого составляет полную их совокупность, тогда как комплесы Б.А. Рыбакова и А. Чернова — только часть совокупности (отсутствующие сажени показаны числом 0,00). В каждом из этих наборов недостает по пять типов саженей, по числовой же величине все они по столбцам отличаются незначительно в пределах допустимого отклонения, не искажающего соразмерности.
Все комплекты разделены на пять групп по три числа в каждом. Две неполные группы по одному числу (наибольшему и наименьшему в наборе) имеются только в пропорциях А.А. Пилецкого. Набор Б.А. Рыбакова составляет три средние группы, в которых отсутствует по одному числу-сажени, а в наборе А. Чернова полностью отсутствует средняя группа саженей. Все числасажени А.А. Пилецкого строго пропорциональны между собой и по диагонали - золотому числу Ф. Сажени Б.А. Рыбакова связаны числом 1,633 (кроме «сажени без чети», для нее данное число равно 1,581 и о ней Б.А Рыбаков упоминает как об искусственной в наборе). Сажени А. Чернова очень близки по своей длине саженям Б.А. Рыбакова и можно было бы предположить, что они получены одним способом. Но критерий по числу Ф не подтверждает этого предположения, поскольку разброс коэффициентов лежит в пределах от 1,580 до 1,635, а это может свидетельствовать о применении двух или нескольких методов восстановления их длины.
Но главное — все три комплекса саженей «демонстрируют» структурное единообразие, системную взаимосвязь и как бы «ранговое» построение саженей троичными группами. Причем, налицо тенденция «отодвигания» групп друг от друга. Особенно это заметно по комплексу А. Чернова у которого средняя группа вообще отсутствует. И возникает вопрос: Чем объясняется стремление к такому «обособлению»? Какой физический процесс может обусловливать необходимость применения иррациональных инструментов соизмерения?
До сего времени наука не ответила на этот вопрос. Но в первом приближении можно выдвинуть следующую версию: окружающая нас природа живет, пульсирует, дышит. Пульсируют звезды, планеты, астероиды, камни. Пульсируют растения, животные, клетки, в общем, все живое и неживое на Земле и в Космосе. Пульсируют, распространяя от себя колебания в виде самых разнообразных волн, начиная от атмосферных и заканчивая гравитационными [16]. Элементы сооружений, части зданий и их конструкции тоже пульсируют. Пульсируют стены, потолки, мебель, различные механизмы и т.д. И в своей пульсации испускают стоячие волны уже в самом помещении. Эти волны почти не улавливаются приборами (точнее приборы, их улавливающие, еще не созданы, поскольку само явление не допускается), но очень хорошо чувствуются человеческим организмом. Более того, волны эти воздействуют на организм человека, подавляя его и вынуждая тратить свою энергию на сопротивление волновому воздействию, ослабляют его и способствуют заболеваниям. И чем больше стоячих волн в жилом помещении, тем больше энергии необходимо тратить организму на ее гашение.
Энергия стоячей волны и ее лараметры в этом случае определяются как частотой пульсации конструкций, например стен, так и кратностью расстояния между ними определенному рациональному числу-модулю. В нашей архитектуре таким моду лом является шаг в 30 см. Да и сам измерительный инструмент — метр, имея деления через 1 см, всегда обусловливает возведение объектов как минимум с этой кратностью. А потому во всех помещениях, построенных на основе пропорционирования метром, существуют стоячие волны, отрицательно воздействующие на организм проживающих в них людей.
Древнерусские сажени не являлись в численном выражении рациональными инструментами и потому не имели кратного ни себе, ни своим частям делителя. К тому же, чем дальше они отстояли друг от друга по таблице 7 и чем больше их откладывалось в одном измерении, тем меньшей длины отрезок мог оказаться кратным им. А чем меньше кратное, тем меньшей энергией обладает стоячая волна, возникающая в помещении.
Более того, уменьшение кратности расстояния и разбалансировка стоячих волн может привести не только к их отсутствию в помещении, но и к возникновению волн, резонирующих с колебаниями человеческого организма, находящегося в нем. Такое помещение становится наилучшим для проживания людей. Именно помещения, не имеющие кратности ни одному измерителю ни в длину, ни в ширину, ни в высоту, и строили наши предки. По этой причине в старинных церквях и домах люди чувствуют себя уютно, спокойно и расслабленно, как под воздействием благодати — лечащего фактора, хотя и не понимают, что стоит за этим.
Таким образом, необходимость разбалансирования кратности расстояний в помещениях и обусловливала ту странную на наш «просвещенный» взгляд систему инструментов соизмерения и методику их применения, которая представлена древнерусскими саженями. В подтверждении сказанного приведу несколько примеров использования саженей в построении структуры древних церквей (к сожалению, обмеров сохранившихся древних жилых помещений, по-видимому, почти не проводилось и их достаточно сложно обнаружить. К тому же для точного определения параметров старых построек необходимо производить замер их с точностью до сантиметров, что далеко не всегда делается, а подчастую и невозможно, поскольку всякие реставрации изменяют пропорции этих сооружений). Вот как описывает Б.А. Рыбаков разбивку Елецкой церкви [4] исходя из своего понимания пропорционирования саженей (приводятся только операции по разбивке главных осей):
-от «вавилона» на восток было отсчитано 6 мерных саженей (по 176,4 см) до крайнего выступа средней апсиды;
-от «вавилона» на запад отсчитано 5 прямых саженей (по 152,76 см) до стены, отделяющей нартекс;
-далее на запад отложено еще 3 косых сажени (по 216 см), что дало внешнюю линию западного фасада;
-на север и на юг было отложено по 3 косых сажени (по 216 см).
Рассмотрим результаты такого порядка разбиения. Итак, длина по оси восток —запад:
176,4 х 6 + 152,76 х 5 + 216 х 3 = 24,7 м.
Данный подход к разбивке осей церкви вызывает большие сомнения. Трудно предположить, что продольная ось разбивалась сразу тремя различными саженями. При таком порядке разбивки путаница практически неизбежна. Но, может быть, так, что полная длина оси определялась одной саженью, а внутренняя разбивка, уже после отбивки оси, другой и даже третьей саженью, что полностью соответствует методике их применения. Поэтому проясним первое сомнение и определим, сколько раз в длине оси укладывается хотя бы мерная сажень, с которой начинает замерять ось Б.А. Рыбаков:
24,7: 1,764 = 14,00.
Мерная сажень укладывается по длине оси ровно 14 раз. А это сразу же указывает на то, что ось восток—запад размерялась мерной саженью, другие же сажени использовались на втором этапе при разбивке внутреннего объема церкви.
Но только ли мерной? Разделим длину главной оси 24,7 м на сажень Пилецкого из первой группы «Всемера» и получим:
24,7: 2,055 = 12 раз.
Сажень Пилецкого укладывается по длине церкви 12 раз, а сажень народная — 14 раз. То есть у данной церкви главная ось замерялась двумя саженями из различных групп «Всемера». Имея эти числа, можно предположить, в соответствии с каноном, что ширина Елецкой церкви замерялась половиной от 12 или 14, т.е. 6 или 7 раз, но иными саженями. Именно 6 саженей косых, по Б.А.Рыбакову, и укладывается в ширине церкви. Найдем ширину:
2,16мх6=12,96м.
Проверим, какая сажень укладывается в ширине 7 раз?
12,96м: 7= 1,851 м.
А это размер, близкий к размеру церковной сажени. К тому Же сажень косая и церковная входят в разные группы «Всемера». Можно предположить, что ширина, как и длина, церкви замерены с ошибкой. Проверим, какова ширина церкви если мерить ее казенной и церковной саженями «Всемера»:
2,176 мх 6= 13,06м.
Если длина широтной оси составляет ровно 6 саженей казенных, то следует ожидать, что она также включает ровно 7 саженей церковных. Проверим:
13,06м: 7=1,865м.
Действительно, ширина вмещает 7 церковных саженей размером всего на 1 мм больше стандартной длины 1,864 м, что не существенно. А следовательно, ширина церкви замерена с ошибкой в 10 см. Отмечу, что и ее длина, по Б.А.Рыбакову, замерена с ошибкой в 6 см.
Но не в этих ошибках главное. А в том, что, используя «Всемер», мы неожиданно обнаружили, что главные оси Елецкой церкви разбивались двумя видами сажени каждая. Причем, одна пара саженей укладывается в осях числом, кратным 7. А это случайностью оказаться не может уже потому, что число 7, как и числа 3, 11, 12, еще со времен Древнего Египта, если не раньше, считаются числами священными, сакральными. Все события, параметры, даты и т.д., образующие эти или кратные им числа, поэтому приобретали особую значимость. И у многих народов и в эзотерике эти цифры до сих пор не потеряли сакральногс значения.
Но вернувшись к параметрам Елецкой церкви, можем констатировать, что даже простейшие осевые замеры сохранившихся до нашего времени сооружений без представления о технологии применения системы саженей могут повлечь за собой неадекватное действительности описание производства разбивочных работ древними зодчими.
Пятая важнейшая особенность, обусловившая выживание комплекса саженей, — простота восстановления утраченных единиц соизмерения. Выше рассматривались методы восстановления саженей, найденные Б.А. Рыбаковым, обеспечивающие соразмерность инструментов с точностью до десятых долей процента. Ниже приводятся иные способы их восстановления или возвращения утраченной пропорциональности.
Как уже упоминалось [1], мастера работали с деревянными инструментами, а эталонные размеры древних саженей отсутствовали. Служба хранения эталонов — тоже. Тем не менее, их отсутствие никак не отражалось на многотысячелетнем существовании комплекса соизмерительных инструментов. А это возможно только тогда, когда система соизмерения включает в себя несколько простых, понятных грамотному или неграмотному мастеру арифметических или геометрических операций восстановления утраченных саженей. Покажу еще несколько простых операций по восстановлению соизмеримости саженей при наличии прутка любой, допустим равной какому-нибудь размеру мастера, длины. Для примера возьмем казенную сажень длиной 217,6 см, а значит, мастер у нас роста выше среднего и выбрал он прут, находясь в положении с поднятой рукой:
217,6: 10 = 21,76, это с точностью до 1% — пядь народной сажени. Умножаем пядь на 8 и получаем:
21,76 x 8 = 174,1см,
что всего на 1,9 см меньше народной сажени — 176,0 см. Выше показано, что такая разница в размерах практически не отражается на их соизмеримости, но все же ее существование в какой-то мере неудобно для привычной нам точности, и поэтому разницу можно уменьшить второй операцией, разделив полученную пядь на 100 и прибавив к ней образовавшееся частное:
21,76 + 0,2176 = 21,9776 см, или около 22 см.
А это точная величина народной пяди. Сложив локоть казенной сажени и полсажени народной, получаем, как было показано выше, сажень малую.
Можно предложить другой численный метод. Например, длину сажени разделить на 110 и умножить на 9:
217,6: 110 x 9 = 17,80см,
а это точная величина малой пяди. Умножая ее на 8, получаем сажень малую:
17,8 x 8 = 142,4см,
из которой вычитанием методом Фибоначчи локтя казенного получаем сажень народную:
(142,4 - 54,4) х 2 = 176,0 см
и так далее.
Но эти красивые операции, которых множество, легко производить нам, имея перед собой метрическую длину сажени. А что было делать мастеру-зодчему, особенно безграмотному в нашем Понимании, таких же в начале средних веков было большинство, когда он знал только операции сложения и вычитания отрезков, а о дробях вообще ничего не слышал. Да и сами сажени не имели метрического отображения.
Надо полагать, что в этом случае их находили методом геометрической соразмерности отрезков, построенных на одной, эталонной для последующих, длине. Рассмотрим один из простейших вариантов такого построения. Для примера возьмем того же мастера и тот же прут, равный казенной сажени. Проведем на ровной поверхности, например на полу, прямую АС, равную по длине казенной сажени, и, разделив ее на три равные части (см. рис. 16) в точке D, восстановим перпендикуляр DВ высотой в полсажени казенной (в полпрутка). Соединив точки А и В прямой, опустим перпендикуляр из точки D в точку Е. Отрезок ED будет только на 1% меньше половины сажени народной и вполне отвечает принципу соизмеримости. По казенной и народной саженям сложением или вычитанием элементов саженей восстанавливаются и остальные сажени.
Рис. 16. Способ восстановления пропорциональности саженей методом треугольника
Для получения более точного результата можно из точки С половиной сажени казенной нанести на перпендикуляр ВD точку К и из нее провести прямую к точке М, центру отрезка DC. Прямая КМ почти на 1% превышает полсажени народной. Если сложить отрезки ЕD и КМ, то полученная величина с точностью до десятых долей процента равна сажени народной.
Можно предложить еще один относительно точный геометррический способ (и не последний) получения народной сажени Для этого достаточно из А через точку К провести прямую до пересечения с отрезком ВС в точке Н и из Н опустить перпендикуляр ОН на основание АС. Длина перпендикуляра ОН с точностью до десятых долей процента будет равна половине народной сажени.
Таким образом, существует несколько очень простых арифметических и геометрических способов, которые, вероятно, знали мастера восстановления соразмерности саженей даже тогда, когда под руками не было ни одной эталонной сажени. В этом случае «эталоном» становятся пропорции самого мастера: либо его рост, либо размах рук, либо положение с поднятой рукой и т.д. Это обстоятельство способствовало закреплению за элементами саженей названий, относящихся к частям человеческого тела. А поскольку мастеров на Руси было множество и различного роста, то и в результате их творчества было создано множество мерных инструментов, в неприкосновенности сохраняющих лишь одно их качество — соразмерность, а следовательно, и пропорциональность золотому числу. О последнем мастера даже не догадывались. И именно соразмерность превращала обычные строительные объекты мастеров, ее чувствующих, в произведения архитектурного искусства, произведения, недоступные современным архитекторам.
Наконец, существует еще одна особенность системы соизмеримых инструментов, позволяющая достаточно просто с точностью до 1% и точнее, т.е. с точностью, достаточной для производства строительных работ, соизмерять диаметры окружностей с их длиной и с длинами вписанных в окружности квадратов. А следовательно, отпадает необходимость как в знании числа 
, так и в учете его при производстве строительных работ.
Возьмем для примера те же три сажени — казенную, народную, и малую:
| 217,6; 176,0; 142,4 | — сажень, |
| 108,8; 88,0; 71,2 | — полсажени, |
| 35,6 | — локоть, |
| 17,8 | — пядь, |
| 8,9 | — пясть (полпяди), |
| 4,45 | — вершок. |
Сложим величины сажени казенной, полсажени народной и сажень малую:
| 217,6 + 88,0 + 142,4 = 448 см. | (12) |
Полученная длина является длиной окружности, для которой малая сажень становится диаметром (с точностью до 0,15%), а ее полсажени — радиусом. Проверим это утверждение:
448: 142,4 = 3,1460 
.
Естественно, что соотношение (12) действительно для любой тройки последовательных по горизонтальному ряду чисел матрицы 3, и каждый мастер, мало-мальски владеющий саженями, знал это соотношение и с успехом пользовался им.
Для получения с той же точностью длины стороны вписанного в окружность диаметром 142,4 см квадрата достаточно от полсажени казенной 108,8 см отнять полпяди малой. Полученная сторона вписанного квадрата 99,9 см всего на 0,79 см, или на 0,8%, отличается от истинной, равной 100,69 см.
Все эти легко запоминаемые, просто выполняемые и не единственные особенности соразмерной системы саженей обусловили ее существование на протяжении тысячелетий. По-видимому, каждый истинный мастер находил свою систему восстановления пропорций, которую хранил в секрете и открывал только своим ученикам. И только развитие промышленности и излишняя ретивость ученого и администраторского люда привели к насильственной замене естественной системы, обеспечивающей природную гармонию объектам, статическим измерительным эталоном — метром.
