Отмечу на будущее очень важное обстоятельство, всплывающее в отношении (4) при рассмотрении числа 5. Это ординарное число однозначно указывает на свое положение в геометрии прямоугольных фигур. Оно и корень из него, равный 2,23606..., «помнят» о том, что являются гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого одна сторона равна двум единицам измерения, а вторая одной. «Помнит» она и о том, что данная гипотенуза является одновременно и диагональю прямоугольника, построенного на тех же сторонах. Или, по-другому, этот прямоугольник «складывается» из двух квадратов, а посему И.Шмелев [8] дал ему название «двусмежный квадрат» (ДК). Получив Ф и обратную его величину, т.е. два числа, мы успокаиваемся, так и не определив, чему же равны числа a и с в формуле (1) и какое отношение они имеют к b, тем более, что подстановка b в (2) с последующим выходом на (1) не приводит к определению величин а и с, а следовательно, и не решает поставленную задачу.
Тогда зачем же мы находим b? Ответ — только для того, чтобы получить точную величину Ф, поскольку мы уже знаем, что это число — основа золотой пропорции. Но что скрывает это число? В чем суть золотой пропорции?
Попробуем решить (1) другим путем. Умножим числитель и знаменатель левой части отношения (1) на a, правой части на с и, сократив знаменатели, получаем следующее уравнение:
а2 + ас = с2. | (5) |
Приравнивая произведение ас к b2:
b2 = аc, | (6) |
подставляя в (5) b2 вместо ас, получаем уравнение Пифагора:
a2 + b2 = c2 | (7) |
в котором b2 отображает большой катет прямоугольного треугольника. И, следовательно, деление в крайнем и среднем отношениях есть деление не на два отрезка, а на три в пропорциях прямоугольного треугольника, в котором число b = Ф неявно занимает место одного из катетов. И вместо длин двух отрезков мы получаем три длины, образующих новое геометрическое качество — прямоугольный треугольник. Отношения (2) и (6) свидетельствуют о существовании еще одного числа i, кратного а, b, с. Для получения г возведем в квадрат (2) и, подставляя в него значение b 2 из (6), имеем:
а2 х ас = с2, | (8) |
c = a3. |
Подставляя величину с из (8) в (2), получаем:
b= a2
И окончательно:
а6 - b3 = с2.
Поскольку b имеет два значения b1 =1,618 и b2 = 0,618, то по ним находим i1 i2:
i1 =b13 = (1,618)3 = 4,2358...,
i2 = b23 =(0,618)3 = 0,236....
Извлекая из i1 и i2 корень шестой степени, получаем количественную величину a1 a2:
а1 - 6 i 1= 6 4,236 = 1,272,
а2 = 6 i 2 = 6 0,236 = 0,786.
После извлечения квадратного корня из чисел г, находим значения с:
c1 = i 1= 2,058
c2 = i 2 = 0,4858.
Констатируем, что в результате полного решения пропорции (1) мы получили 8 чисел, и кажется, что четыре из них — 0,4858; 0,786; 1,272; 2,058 — лишние. Зачем они нужны, если не входят в золотой ряд, и что собой символизируют? Попробуем определиться, но сначала выясним, какой модуль по длине, рациональный или иррациональный, имеет отрезок, делимый в крайнем и среднем отношениях:
с+ а = 3,33019... = а5.
Таким образом в среднем и крайнем отношениях делятся только иррациональные отрезки. А это может обозначать одно — все естественные отрезки сами по себе и сами для себя имеют свою иррациональную метрику, несоизмеримую со стандартной метрикой.
Полученные выше двойные иррациональные числа а, в, с являются элементами единого степенного ряда, восходящего с основанием а1 = 1,272 от базисной единицы 1 и нисходящего с основанием а2 = 0,768 от той же базисной единицы 1. Числа а1, b1, c1, если им придать функции отрезков-сторон, образуют, как и числа а1, b1, c1, прямоугольные треугольники. Причем образовавшиеся треугольники будут подобны.
Существование чисел-сторон, способных образовывать единственный в золотом ряду прямоугольный треугольник, не может быть случайностью. Похоже, что он выполняет какую-то неизвестную нам функцию, определяемую степенями чисел ряда, в котором он образуется.
Отмечу еще раз, что невозможно получить точное значение иррациональных чисел золотого ряда как бы долго мы ни производили их вычисление, И это заставляет прерывать процесс вычисления с некоторой степенью точности, которая устраивает нас по условиям задачи. Прерывая вычисления, мы не прерываем процесса. В результате округления до определенной величины образовавшееся число, с одной стороны, «помнит» свое место в ряду (память числа [9]), с другой, уже как бы не является числом, а представляет собой некоторое абстрактное отображение незаконченного бесконечного процесса. И поэтому можно считать, что ряд золотых чисел есть совокупность взаимозависимых, непрерывных процессов. Процессов, отображающих некоторые формы движения природных систем.