Законы классической логики предикатов

На основе правил приписывания истинностных значений осуществляется введение понятия закона классической логики предикатов, т. е. формулы, которая истинна при любых допустимых в этой теории интерпретациях нелогических символов, входящих в состав данной формулы. Законом классической логики предикатов называется такая и только такая формула, которая принимает значения «истина» в каждой модели и при любом приписывании значений предметным переменным. Законы классической логики предикатов называют также общезначимыми формулами, и утверждение «формула A общезначима» записывается |= A.

V Пример

Общезначимой является рассмотренная выше формула "xP(x)É$xP(x).

Схемы наиболее важных общезначимых формул (законов классической логики высказываний):

1. "x"yAº"y"xA; $x$yAº$y$xA; $x"yAÉ"y$xA — законы перестановки кванторов.

2. "xAºØ$xØA; $xAºØ"xØA — законы взаимовыразимости кванторов.

3. (("xА(x)Ù"xВ(x))º"x(А(x)ÙВ(x))); (($xА(x)Ú$xВ(x))º $x(А(x)ÚВ(x))); ($x(А(x)ÙВ(x))É($xА(x)Ù$xВ(x))); (("xА(x)Ú"xВ(x))É"x(А(x)ÚВ(x))); ("x(АÚВ(x))º(PÚ"xВ(x))), если x не свободна в P; ($x(АÙВ(x)) º (АÙ$xВ(x))), если x не свободна в P; ("x(А(x)ÉВ(x))É("xА(x)É"xВ(x))) — законы пронесения кванторов.

4. Ø"xA(x)º$xØA(x); Ø$xA(x)º"xØA(x) — законы образования контрадикторной противоположности (отрицания кванторов).

5. "xA(x)É$xA(x) — закон связи кванторов общности и существования.

6. "xA(x)ÉA(t); A(t)É$xA(x) — закон исключения квантора общности и введения квантора существования.

7. "xAÉ$xA — закон подчинения.

8. $xAÚ$xØA — закон непустоты предметной области.

Наряду с общезначимыми существуют также выполнимые формулы. Выполнимой в логике предикатов является такая и только такая формула, которая принимает значение «истина» в некоторой модели и при некоторых значениях, приписанных предметным переменным.

V Пример

Выполнимой является формула $xAÉ$xØA (соответствующее данной формуле высказывание «Если некоторые из существ любят сладкое, то некоторые из существ не любят сладкого» — истинно, но соответствующее данной формуле высказывание «Если некоторые из пианистов являются музыкантами, то некоторые из пианистов не являются музыкантами — ложно). Если же формула принимает значение «ложь» в каждой модели и при каждом приписывании значений предметным переменным, таковой является формула высказывания «Все люди бессмертны, но Адам умер».

Разобранные примеры позволяют выявить следующую систему предписаний относительно перевода выражений естественного языка на язык логики предикатов 1-го порядка: а) единичные имена необходимо заменить предметными постоянными, а общие имена предикаторными постоянными; б) заменить кванторные слова кванторами, записать кванторы с относящимися к ним переменными в порядке нахождения кванторных слов в анализируемом высказывании; в) выписать формулу, заменяющую первый (по смыслу) предикат и поставить перед ней левую скобку; если предметная переменная этой формулы связана квантором общности, то поставить после неё знак импликации, если же она связана квантором существования, то поставить после неё знак конъюнкции; после знака импликации или знака конъюнкции поставить левую скобку; г) выписать заменяющую второй (по смыслу) предикат формулу, и если предметная переменная этой формулы связана квантором общности, то поставить после неё знак импликации, если же она связана квантором существования, то поставить после неё знак конъюнкции; после знака импликации или знака конъюнкции поставить левую скобку и т. д.; д) выписать формулу, заменяющую последний предикат; е) после заменяющей последний предикат формулы, поставить необходимое число правых скобок (если выявляется логическая форма отрицательного высказывания, то перед последней предикаторной постоянной поставить знак отрицания).