Классическое исчисление высказываний

Логический смысл исчислений

Рассмотренные выше логические теории (традиционная силлогистика, классическая логика высказываний, равно как и рассматриваемая далее классическая логика предикатов) отвечают на вопрос о правильности или неправильности конкретных рассуждений, выделяя среди них и подробно анализируя рассуждения дедуктивного типа, но не ставят и не решают вопроса о том, как собственно осуществляются какие бы то ни было дедуктивные рассуждения. На последний вопрос призвана отвечать теория дедуктивных рассуждений. Теория дедуктивных рассуждений — это теория последовательного пошагового дедуктивного перехода от исходных высказываний к последующим. Каждый шаг этого перехода осуществляется на основе какого-либо правила вывода (дедуктивного принципа), обеспечивающего отношение логического следования между исходными и всеми последующими суждениями. Теория дедуктивных рассуждений структурирует не только знание данного перехода (как в содержательных теориях), но и средство получения этого знания, т. е. является формальной теорией. В рамках теории дедуктивных рассуждений существуют теории, называемые исчислениями, содержание которых фиксируется на специально созданном символическом языке, а все допустимые преобразования строятся как преобразования одних последовательностей символов в другие. Исчисления могут иметь как аксиоматический характер, так и быть натуральными исчислениями, т. е. содержащими только правила вывода и не содержащими аксиом. Классическая символическая логика включает в себя две разновидности исчислений: 1) классическое исчисление высказываний; 2) классическое исчисление предикато в. Вначале рассмотрим натуральное исчисление высказываний как широко используемую в познавательных целях разновидность классических исчислений.

Классическое натуральное исчисление высказываний. Правила вывода

Натуральное исчисление высказываний в отношении системы языка и определения правильно построенных выражений (формул) полностью совпадает с классической логикой высказываний. Но в отличие от последней теории, строящейся семантически (содержательно) и формулирующей в качестве принципов понятия логического закона и логического следования, натуральное исчисление высказываний вводит синтаксические (формализованные) аналоги указанных принципов в виде понятий теоремы и выводимости, а также правила вывода, позволяющие переходить от одних последовательностей символов к другим. По сути, основной задачей исчисления является осуществляемая на основе дедуктивных принципов демонстрация любого логического закона в качестве теоремы исчисления. В натуральном исчислении высказываний существуют 2-а типа правил вывода: 1) правила введения логических символов; 2) правила исключения логических символов. В свою очередь они делятся на однопосылочные (из одной формулы) и двухпосылочные (из 2-х формул). К дедуктивным принципам введения логических символов относятся правила:

1.1. — введение конъюнкции (обозначим символом «Ù_в»), выражаемое схемой:

А, В

^________.

А Ù В

Правило введения конъюнкции является двухпосылочным, позволяющим из любых имеющихся в рассуждении произвольных формул А и В построить конъюнкцию АÙВ.

 

V Пример

Если формула А является формулой (pÉq) и формула В является формулой (rÉs), то, применяя к ним правило Ù_в, получим новую формулу ((pÉq)Ù(rÉs)).

1.2. — введение дизъюнкции (обозначим символом «Ú_в»), выражаемое схемами:

А ________ , А Ú В

А ________. А Ú В

 

Правило введения дизъюнкции является однопосылочным, позволяющим при наличии в рассуждении любой произвольной формулы А построить посредством присоединения к ней справа любой формулы В дизъюнкцию АÚВ.

 

V Пример

Если формула А является формулой (pÙq) и формула В является формулой (rºs), то, применяя правило Ú_в, получим новую формулу ((pÙq)Ú(rºs)).

1.3. — введение импликации (обозначим символом «É_в»), выражаемое схемой:

А

^________,

В É А

где В — последняя посылка. Правило введения импликации является однопосылочным. Оно позволяет применительно к любой содержащейся в рассуждении формуле А построить посредством присоединения к ней в качестве антецедента формулы В, участвующей в рассуждении в виде последнего допущения (посылки), материальную импликацию ВÉА.

 

V Пример

Если имеющаяся в цепочке рассуждений формула А является формулой (p Ú q) и последняя посылка в этой цепочке формула В есть формула (rÙs), то, применяя правило É_в, получим новую формулу ((rÙs)É(p Ú q)).

 

1.4. — введение отрицания (обозначим символом «Ø_в»), выражаемое схемой:

А, ØА

^_________,

ØВ

где В — последняя посылка. Правило введения отрицания является двухпосылочным и позволяет при наличии в цепочке рассуждений любых двух противоречащих друг другу формул А и ØА перейти к формуле ØВ, являющейся отрицанием последней посылки в данных рассуждениях.

 

V Пример

Если в рассуждениях есть формула А, являющаяся формулой (pÉq), и формула ØА,являющаяся формулой Ø(pÉq), а последняя посылка в ходе рассуждения — формула (rÉs), то, применяя правило Ø_в, получим новую формулу (Ø(rÉs)).

 

К дедуктивным принципам исключения логических символов относятся правила:

2.1. — исключение конъюнкции (обозначим символом «Ù_и»), выражаемое схемами:

А Ù В _________ , А

А Ù В ________. В

Правило исключения конъюнкции является однопосылочным и позволяет при наличии в цепочке рассуждений любой конъюнктивной формулы АÙВ перейти к формуле А или формуле В и использовать их в качестве самостоятельных звеньев этих рассуждений.

 

V Пример

Если в рассуждениях используется формула АÙВ, в которой А является формулой (pÉq), а В является формулой (Ø(rÉs)), то, применяя правило Ù_и, получим новые формулы (pÉq) и (Ø(rÉs)).

 

2.2. — исключение дизъюнкции (обозначим символом «Ú_и»), выражаемое схемой:

А Ú В, ØА

^{______________}.

В

Правило исключения дизъюнкции является двухпосылочным. Оно позволяет при наличии в рассуждениях высказывания дизъюнктивной формы и высказывания, являющегося отрицанием левого члена этой дизъюнкции,перейти к правому её члену, т. е. использовать в дальнейшем рассуждении отделённый правый дизъюнкт в качестве самостоятельного элемента.

 

V Пример

Если формула АÚВ является формулой ((pÙq)Ú(rºs)), то, применяя к ней правило Ú_и, получим новую формулу (rºs).

 

2.3. — исключение импликации (обозначим символом «É_и»), выражаемое схемой:

А É В, А

^____________.

В

Правило исключения импликации является двухпосылочным, позволяющим применительно к любой импликативной формуле в цепочке рассуждений отделить от антецедента консеквент, т. е. использовать далее отделённый консеквент в качестве самостоятельного звена рассуждений.

 

V Пример

Если формула А является формулой (pÙq) и формула В является формулой (rÚs), то, применяя к формуле АÉВ правило É_и, получим новую формулу (rÚs).

 

2.4. — исключение отрицания (обозначим символом «Ø_и»), выражаемое схемой:

ØØА

^_______.

А

Правило исключения отрицания является однопосылочным и позволяет снимать двойное отрицание с любой формулы.

 

V Пример

Если в рассуждениях есть формула ØØА, являющаяся формулой ØØ(pÉq), то применяя правило Ø_и, получим новую формулу (pÉq).

Выводы и доказательства

Посредством правил вывода строятся формальные рассуждения двух видов: 1). Ваыводы; 2). доказательства. Вывод — это не пустая и конечная последовательность формул, каждая из которых является либо посылкой, либо получена из предыдущих формул согласно одному из дедуктивных принципов так, что после применения правил É_в и Ø_в все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила, не используются в дальнейших шагах построения вывода. Выпавшие из дальнейших шагов построения вывода формулы называются исключёнными (замороженными), соответственно исключёнными называются выражаемые такими формулами посылки. Вывод может быть получен либо из пустого множества замороженных посылок (когда часть посылок оказываются не исключёнными в ходе рассуждения), либо из непустого множества замороженных посылок (когда все посылки оказываются исключёнными в ходе рассуждения). Так, различают собственно вывод — рассуждение, в ходе которого из каких-либо исходных суждений, посылок вывода получается заключение — суждение, логически вытекающее из посылок, и вывод-доказательство. Доказательство есть вывод из непустого множества неисключенных посылок, при этом последняя формула вывода — это доказанная формула (теорема). Доказать какую-либо формулу, значит вывести её из формул посылок таким образом, чтобы, используя дедуктивные принципы É_в или Ø_в, перевести все эти формулы в разряд исключённых. В целом структура любого вывода может быть представлена последовательностью формул, располагающихся, например, друг под другом. Каждая из формул этой последовательности в исчислении высказываний нумеруется натуральными числами.

 

V Пример

Если требуется вывести формулу Øp из посылок pÉØp и p (записывается: pÉØp, p |- Øp, читается: «из посылок pÉØp и p выводимо Øp», где «|-» — знак выводимости), то следует найти и записать такую последовательность формул, в которой множество используемых посылок равно множеству формул pÉØp и p, а последней оказывается именно выводимая формула Øp:

1. pÉØp — пос.

2. p — пос.

3. Øp — É_и, 1, 2.

 

Как видно из предложенной записи данной последовательности, напротив каждой формулы указывается основание, по которому она используется в выводе. Первым из двух возможных оснований вывода является то, что данная конкретная формула служит посылкой (соответствующее обозначение — «пос.»). Второе основание заключается в том, что данная конкретная формула получена из предыдущих формул по некоторому правилу вывода (что фиксируется символом применённого правила вывода и номерами формул, к которым оно было применено). Исключённые формулы вывода на каждом его шаге принято обозначать вертикальной чертой, расположенной слева от колонки пронумерованных формул. В приведённом выше примере вывода нет исключённых формул, но если потребуется обосновать утверждение о выводимости |- (p É Øp) É Øp, т. е. обосновать утверждение о том, что формула ((p É Øp) É Øp) является теоремой (осуществить доказательство), мы получим следующую, уже имеющую исключённые формулы последовательность:

_______ ______________

1. p É Øp — пос. 2. p — пос. 3. Øp — Éи, 1, 2. 4. Øp — Øв, 2, 3. 5. (p É Øp) É Øp — Éи, 1.

 

V Пример

Обоснуем также и то, что теоремой является и другая формула закона введения отрицания: (pÉq)É((pÉØq)ÉØp). При этом получим схему вывода:

___________ ___________________ ___________________________

1. p É q — пос. 2. p É Øq — пос. 3. p — пос. 4. q — Éи, 1, 3. 5. Øq — Éи, 2, 3. 6. Øp — Øв, 4, 5. 7. (p É Øq) É Øp — Éв, 2, 6. 8. (p É q) É ((p É Øq) É Øp) — Éв, 1, 7.