Прогнозування за лінійною моделлю

Прогноз на перспективу буває двох видів: точковий та інтервальний.

Незміщена оцінка точкового прогнозу розглядається як індивідуальне значення Y_пр для матриці незалежних змінних Х_пр,що лежать за межами базового періоду .

У рівняння Y_розр = 319,44 + 20,45×Х підставимо прогнозні значення фактору Х_пр = 27,1 (точковий прогноз):

Y_пр = 319,44 + 20,45 · 27,1 = 873,616

Дисперсія похибки прогнозу дорівнює:

де – дисперсія залишків u;

var (А) – дисперсійно-коваріаційна матриця, яка записується у вигляді:

Матриця похибок:

(Х' * Х)-1 =	1,72139	-0,0783
-0,0783	0,0038407

Елементи на головній діагоналі матриці та за її межами розраховуються за формулами:

де – дисперсія залишків u;

с_jj, c_jk – елементи матриці похибок (Х¢Х)^–1.

 

var (А) =	4122,016	-187,5018
-187,5018	9,19690

Тоді дисперсія прогнозу буде:

Хпр=
27,1

 

Х'пр=

27,1

 

Х'пр * var (А) =

–959,2827488

61,73419732

Середньоквадратична (стандартна) похибка прогнозу:

Довірчий інтервал математичного сподівання М(Y_пр) для прогнозного значення буде в межах:

873,616 – 2,45 · 26,71543 £ M(Yпр) £ 873,616 + 2,45 · 26,71543

 

808,2458

£ M(Yпр) £

938,9864

Визначення інтервального прогнозу індивідуального значення Y_пр базується на знаходженні середньоквадратичної помилки прогнозу:

Обчислимо дисперсію та стандартну помилку прогнозу індивідуального значення Y_пр:

Тоді інтервальний прогноз індивідуального значення буде відповідати такому довірчому інтервалу:

де t – табличне значення критерію Стьюдента при k=n–m₁ ступенях вільності тарівні значимості a=0,05.

873,616 – 2,45 · 55,7521 £ Yпр £ 873,616 + 2,45 · 55,7521

 

737,1956

£ Yпр £

1010,0366

Висновки.

Згідно з обчисленими характеристиками можна сказати, що об’єм реалізації продукції підприємства на 88,3% залежить від витрат на впровадження інновацій в попередньому періоді, а на 11,7% від неврахованих в задачі чинників. Зв’язок між залежною змінною Y та незалежною Х (об’ємом реалізації продукції та витратами на впровадження інновацій в попередньому періоді) досить високий (коефіцієнт кореляції дорівнює 0,94).

Перевірено значимістьзв’язку між змінними моделі
F_розр > F^0,05_табл (8,58>3,87) для рівня надійності a=0,05. З 5%-ним ризиком помилитися припускаємо присутність лінійного зв’язку.

Стандартні помилки параметрів не перевищують абсолютні значення цих параметрів:

;

.

Це означає, що оцінки параметрів є незміщеними відносно їх істотних значень.

Остаточні висновки стосовно стійкості оцінок параметрів можна зробити, коли порівняти стандартні помилки з абсолютними значеннями оцінок параметрів моделі:

Велике значення похибок зумовлюється малою кількістю спостережень, а також неточністю специфікації (не всі основні чинники, що впливають на Y внесено до моделі).

Середньоквадратичне відхилення

свідчить про те, що фактичні значення Y відхиляються від розрахункових його значень на ±45,3 тис. грн.

Відносна похибка – це характеризує модель з хорошої сторони.

Проведена перевірка значущості коефіцієнта детермінації за
F-критерієм Фішера. F^0.05_табл < F_експ (3,87 < 15,45). Коефіцієнт детермінації значущій.

Перевірена значимість коефіцієнта кореляції за t-критерієм Стьюдента. t_табл < |t_експ| (2,45 < 6,74). Коефіцієнт кореляції достовірний (зна­чущий) і зв’язок між залежною змінною та незалежним фак­тором суттєвий.

Дана оцінка значимості кожного параметра моделі за допомогою
t-критерію Стьюдента: |t_експ|>t_табл – параметри моделі є значущими.

Отже, модель є достовірною та відображає тісний кількісний взаємозв’язок між залежним та незалежним показниками і може бути використана для практичного економічного висновку.

Були обчислені прогнозні значення Y_пр для Х_пр = 27,1:

Y_пр = 319,44 + 20,45 · 27,1 = 873,616 тис. грн.

Так, при ймовірності р=0,95 (a=0,05), прогноз математичного сподівання M(Y_пр) потрапляє в інтервал [808,2458; 938,9864], а прогноз індивідуального значення Y_пр – в інтервал [737,1956; 1010,03].

В економічній інтерпретації це означає, що при прогнозних значеннях збільшення витрат на впровадження інновацій до 27,1 тис. грн. об’єм реалізації продукції підприємства потрапляє в інтервал:

808,2458

≤ M(Yпр) ≤

938,9864

Водночас окремі (інтервальні) значення об’єму реалізації продукції підприємства містяться в інтервалі:

737,1956

≤ Yпр ≤

1010,0366

На даному підприємстві збільшення об’єму реалізації продукції обумовлюється збільшенням витрат на впровадження інновацій у попередньому періоді. Так, на кожні 10 тис. грн. збільшення витрат на впровадження інновацій, можливе підвищення об’єму реалізації продукції підприємства на 204,57 тис. грн. за умови незмінної дії інших чинників.

Коефіцієнт еластичності показує, що при збільшенні витрат на впровадження інновацій на 1%, можливе підвищення об’єму реалізації на 0,566%.

Лабораторна робота 3
«Функція витрат (парна нелінійна модель)»

Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички використання методу найменших квадратів для знаходження параметрів парних нелінійних залежностей.

Завдання роботи: Згідно варіанту (додаток 3) побудувати парну нелінійну економетричну модель виду .

Вибірка даних характеризує роботу підприємства. У вибірці кожному значенню незалежної змінної X відповідає значення залежної змінної Y. Знайти числові параметри функції. Провести економічний аналіз впливу фактору Х на Y.

Порядок виконання роботи:

Задача. Побудувати функцію витрат на виробництво виду: . У вибірці даних кожному значенню Х (кількість виробленої продукції, т) відповідають показники Y (загальні витрати, тис. грн.). Знайти числові параметри функції. Провести економічний аналіз впливу фактору Х на Y. Дані для розрахунків в табл. 3.1.

Для отримання лінійної моделі проведемо логарифмування:

Приймаємо такі позначення: lnY = Y*; lnА₀ = А*; lnХ =Х*.

В результаті підстановки отримаємо: Y* = А₀* + a·Х*.

Таблиця 3.1

Вихідні дані для розрахунків

Y	x			lnY	lnx
17,6	10,53			2,87	2,35
19,1	11,8			2,95	2,47
19,5	11,45			2,97	2,44
19,2	11,1			2,95	2,41
20,6	12,31			3,03	2,51
21,9	12,86			3,09	2,55
22,5	13,96			3,11	2,64
23,8	12,31			3,17	2,51
	13,93			3,30	2,63
28,1	12,69			3,34	2,54
	13,23			3,43	2,58
	13,26			3,47	2,58
32,7	14,77			3,49	2,69
41,4	15,35			3,72	2,73
42,2	16,2			3,74	2,79

Для розрахунків параметрів моделі використаємо статистичну функцію Microsoft Excel ЛИНЕЙН:

2,09	–2,10
0,29	0,75
0,80	0,13
50,82
0,89	0,23

В результаті отримаємо парну нелінійну економетричну модель , яка після розрахунку експоненти буде мати вигляд:

Показник a називається коефіцієнтом еластичності витрат за обсягом випущеної продукції. Якщо коефіцієнт a має знак «–», це свідчить про існування оберненого зв’язку між вхідними факторами Y та Х.

Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,8 і коефіцієнт кореляції R=0,89. Це означає, що кореляційний зв’язок між незалежною та залежною змінними (кількістю виробленої продукції та загальними витратами) високий. Модель можна використовувати для аналізу виробничого процесу.

Висновки:

Коефіцієнт еластичності a=2,09. Тобто, при збільшенні обсягів виробництва, загальні витрати теж будуть збільшуватись. При збільшенні обсягів виробництва на 1% слід очікувати збільшення загальних витрат на 2,09%.

Лабораторна робота 4
«Перевірка наявності тенденції середнього рівня»

Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички дослідження властивостей функції часу.

Завдання роботи: Згідно варіанту (додаток 4) дослідити часовий ряд на наявність тренду (тенденції).

Всі варіанти мають часовий ряд (t). Для постановки задачі використати величину часового ряду згідно варіанту (додаток 4).

Порядок виконання роботи: