Тема 4. Методи побудови множинної регресії. Множинна лінійна регресійна модель. Множинна нелінійна модель.

1. Множинна регресія. Матрична форма економетричної моделі.

2. Оцінка тісноти та значимості зв’язку між змінними у множинній регресії.

3. Перевірка значимості коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі множинної регресії.

4. Прогнозування за множинною регресією.

5. Виробнича функція Кобба-Дугласа.

6. Моделі попиту та пропозиції.

Методичні рекомендації.

Специфікація моделі множинної регресії. Залежна та незалежні змінні, випадкова складова у множинній регресії. Система нормальних рівнянь. Розв’язок системи нормальних рівнянь в матричному записі. Тіснота зв’язку загального впливу всіх незалежних змінних на залежну змінну. Скоригований коефіцієнт детермінації. Множинний коефіцієнт кореляції. Парні коефіцієнти кореляції. Частинні коефіцієнти кореляції. Значимість зв’язку між змінними моделі. Перевірка значимості статистичних коефіцієнтів та оцінок параметрів моделі. Економічна інтерпретація прогнозних значень.

Класичні приклади економетричного моделювання. Практичні дослідження Кобба і Дугласа. Виробнича функція загального вигляду. Лінеаризація залежностей та застосування методу найменших квадратів для знаходження параметрів моделі. Економічний аналіз моделі на базі коефіцієнтів еластичності. Функція попиту на продукцію. Залежність між ціною і попитом. Багатофакторна модель пропозиції товару.

Література [1, с. 465-534; 2, с. 39-57; 3, с. 102-238; 4, с. 91-149; 5, с. 90-122, 141-160]

Тема 5. Порушення умов використання методу найменших квадратів. Мультиколінеарність. Гетероскедастичність. УМНК.

1. Умови оцінки параметрів економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів.

2. Поняття мультиколінеарності. Визначення наявності мультиколінеарності.

3. Поняття гомо- і гетероскедастичностi.

4. Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена).

Методичні рекомендації.

Умови оцінки параметрів економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів.

Поняття мультиколінеарності, її вплив на оцінки параметрів моделі. Ознаки мультиколінеарності. Наслідки мільтиколінеарності. Методи визначення наявності мультиколінеарності та засоби її усунення. Алгоритм Фаррара-Глобера.

Гомосксдастичність – наявність незмінної дисперсії в спостереженнях. Гетероскедастичність – дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження. Методи тестування наявності гетероскедастичності: критерій m; параметричний тест Гольдфельда-Квандта; непараметричний тест Гольдфельда-Квандта; тест Глейсера.

Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена). Корегування вхідної інформації з використанням додатково визначеної діагональної матриці S. Прогноз за моделлю.

Література: [2, с. 72-84, 89-100; 3, с. 144-172; 4, с. 95-97, 203-295; 5, с. 122-128]

Тема 6. Моделі розподіленого лагу. Методи оцінювання параметрів лагової моделі.

1. Поняття лага і лагових моделей.

2. Причини лагів. Оцінка параметрів лагових моделей.

3. Приклади використання лагових моделей.

4. Оцінювання параметрів авторегресійних моделей.

Методичні рекомендації.

Поняття лага і лагових змінних. Причина лагів. Моделі розподіленого лага. Використання лагових моделей в економіці. Природа та наслідки автокореляції. Методи визначення автокореляції. Авторегресійні моделі Койка. Методи оцінювання параметрів лагової моделі.

Література: [1, с. 557-567, 580-598; 2, с. 118-123; 3, с.174-185; 4, с. 365-396; 5, с. 161-169].

3. ТЕМИ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

Таблиця 3.1

Теми лабораторних робіт

№ з/п	Назва теми	Кількість годин
денна форма навчання	заочна форма навчання	заочна скорочена форма навчання	перепідготовка спеціалістів
	Лабораторна робота 1: «Елементи матричних перетворень»		-	-	-
	Лабораторна робота 2: «Модель парної лінійної кореляційної залежності. Оцінка достовірності моделі»		0,5	0,5	0,5
	Лабораторна робота 3: «Функція витрат (парна нелінійна модель)»		0,25	0,25	0,25
	Лабораторна робота 4: «Перевірка наявності тенденції середнього рівня».		0,25	0,25	0,25
	Лабораторна робота 5: «Згладжування емпіричних кривих (метод ковзної середньої)»		0,25	0,25	0,25
	Лабораторна робота 6: «Множинна лінійна кореляційна модель»		0,25	0,25	0,25
	Лабораторна робота 7: «Виробнича функція Кобба-Дугласа»		0,25	0,25	0,25
	Лабораторна робота 8: «Дослідження наявності мультиколінеарності між змінними (алгоритм Фаррара-Глобера)»		0,25	0,25	0,25
	Всього годин

Примітка. Студенти денної форми навчання отримують варіант завдання у викладача.

4. ЗМІСТ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

Лабораторна робота 1
«Елементи матричних перетворень»

Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички використання математичного інструментарію, що використовується в економетричних дослідженнях.

Завдання роботи: згідно варіанту (додаток 1) вирішити систему рівнянь методом Гауса, методом Крамера та методом оберненої матриці. Порівняти результати розрахунків.

Порядок виконання роботи:

Приклад 1. Вирішити систему рівнянь методом Гауса:

х₁ + 3х₂ + 8х₃ – х₄ = 22;
х₂ + 3х₃ – х₄ = 10;
4х₁ + 2х₂ – 3х₄ = 11;
х₁ – 6х₂ – х₄ = 0.

1-й крок. Перше рівняння залишаємо без зміни. Для виключення X₁ із послідуючих за першим рівнянь від третього рівняння віднімемо помножене на 4 перше, а від четвертого – перше. Друге рівняння залишається без зміни, так як у ньому відсутня змінна x₁ яка виключається з третього та четвертого рівняння. Тоді получимо систему:

x₁ + 3х₂ + 8х₃ – х₄ = 22;

х₂ + 3х₃ – х₄ = 10;.

– 10х₂ – 32х₃ + х₄= –77;

– 9х₂ – 8х₃ – х ₄ = –22.

2-й крок. Перші два рівняння нової системи запишемо без зміни. За допомогою другого рівняння виключаємо змінну х₂ із послідуючих рівнянь. Для цього до третього рівняння додамо друге, помножене на 10, а до четвертого – друге помножене на 9:

x₁ + 3х₂ + 8х₃ – х₄ = 22;

х₂ + 3х₃ – х₄ = 10;.

– 2х₃ – 9х₄ = 23;

– 19х₃ – 10х ₄ = 68.

3-й крок. Якщо зберегти без зміни перші три рівняння нової системи, за допомогою третього рівняння виключимо змінну х₃ із останнього. Для цього додамо до нього третє, помножене на 9,5. В результаті приходимо до системи рівнянь трикутної форми:

x₁ + 3х₂ + 8х₃ – х₄ = 22;

х₂ + 3х₃ – х₄ = 10;

– 2х₃ – 9х₄ = 23;

– 95,5х ₄ = 286,5.

Рішення для останньої змінної одержимо з четвертого рівняння: х₄=3. Знайдене значення х₄ підставимо у друге рівняння системи, получаємо х ₃=2. В результаті підставлення х₃ та х₄ у друге рівняння системи получаємо х₂=1. На підставі отриманих значень х₂, х₃, х₄ із першого рівняння системи знаходимо х₁=0. Остаточно получаємо єдине рішення системи рівнянь
(0; 1; 2; –3). Перевіркою можна переконатися, що отримані значення змінних задовольняють даній системі.

Приклад 2. Вирішити методом Крамера систему рівнянь:

2x₁ + x₂ + 3х₃ = 9;

x₁ – 2х₂ + х₃ = –2;

3х₁ + 2х₂ + 2х₃ = 7.

Знайдемо значення визначника системи через алгебраїчні доповнення:

.

Так як |A|≠0, то система рівнянь має єдине рішення, яке знаходиться за формулами:

де

Розкриємо визначники |A_j| (j=1,2,3):

Тоді за формулами Крамера розраховуємо результати:

Таким чином, система рівнянь має єдине рішення (1; 2; 3).

Приклад 3. Вирішити матричним методом систему рівнянь:

2x₁ + x₂ – х₃ = 1;

3x₁ + 2х₂ – 2х₃ = 1;

х₁ – х₂ + 2х₃ = 5.

Запишемо систему у матричній формі: А * Х=В,

де

Визначник матриці А:

|А| = 1 ≠ 0, отже система має єдине рішення.

Знаходимо обернену матрицю:

– знаходяться алгебраїчні доповнення елементів визначника:

– складається матриця В із алгебраїчних доповнень:

– формується транспонована матриця В', якщо поміняти місцями рядки та стовпці:

– розраховується обернена матриця А^-1:

Рішення системи записується у вигляді:

Таким чином, єдине рішення системи рівнянь (1; 2; 3).

Безпосередньою перевіркою можна переконатися, що знайдені значення змінних задовольняють заданій системі.

 

Лабораторна робота 2
«Модель парної лінійної кореляційної залежності. Оцінка достовірності моделі»

Мета роботи: сформувати у студентів практичні навички знаходження взаємозв’язку між двома змінними, оцінювання параметрів вибіркової моделі, використання регресійного аналізу для перевірки моделі на адекватність, тестування значимості параметрів регресії, розрахунку інтервалів довіри для параметрів, прогнозування за моделлю, а також встановлення інтервалів довіри для прогнозного та середнього значення залежної змінної.

Завдання роботи: згідно з варіантом (додаток 2) побудувати парну лінійну кореляційну модель виду Вибірка даних характеризує роботу підприємства. У вибірці кожному значенню залежної змінної Y відповідає значення незалежної змінної X.Оці­нити міру впливу на досліджуваний показник (Y) незалежного фактора (Х).

Порядок виконання роботи:

1. Знайти параметри моделі.

2. Проаналізувати достовірність моделі та її параметрів. Для аналізу необхідно розрахувати:

· коефіцієнт детермінації, скоригований коефіцієнт детермінації, множинний коефіцієнт кореляції,парні коефіцієнти кореляції, частинні коефіцієнти кореляції, F-критерій Фішера;

· стандартні похибки оцінок параметрів моделі (порівняти з величиною оцінок);

· перевірити значущість коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі;

· знайти прогнозне значення залежної змінної Y_пр,яке відповідає очікуваному значенню незалежної змінної X_пр.

· знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі, інтервали довіри для прогнозного та середнього значення залежної змінної.

3. Побудувати модель в декартових координатах.

4. Зробити економічний висновок.