Кинематическое исследование механизмов методом графиков

(кинематических диаграмм)

 

Для того чтобы построить наглядное представление о характере движения какой-либо точки механизма, строят кинематические диаграммы перемещений, скоростей и ускорений этой точки. Кинематические диаграммы представляют собой графические зависимости перемещений S = f(t), скорости V = f¢(t) и ускорений a=f¢¢(t) исследуемой точки от времени поворота ведущего звена или S = f(j₁), V = f¢(j₁) и a = f¢¢(j₁) от угла поворота j₁ ведущего звена. Их построение производится после построения совмещенного плана положений механизма.

Рассмотрим это на примере.

П р и м е р 3. Для механизма (рис. 2.2) построить график перемещения точки B и, дифференцируя его методом хорд, график скоростей этой точки, а дифференцируя график скоростей, построить график ускорений. Частота вращения кривошипа О₁А – n₁=150 об/мин

 

Р е ш е н и е. В прямоугольной системе координат X и Y откладываем по оси ординат перемещения точки B, по оси абсцисс – время одного цикла движения механизма отрезком 0 – 0. При длительности цикла, с,

 

 

и длине отрезка 0 – 0, равной 120 мм, масштаб времени по оси абсцисс, с×мм^-1,

 

.

 

Разбив отрезок 0 – 0 на 12 равных частей, из точек деления восстанавливаем перпендикуляры к оси абсцисс.

На оси ординат откладываем отрезки перемещений S_B точки В в масштабе k_S = k_l = 0,008 м/мм, т.е. измеряем перемещения точки В на совмещенном плане положений механизма и переносим их на ось ординат без изменения (перемещения можно увеличить или уменьшить, чтобы получить желаемую высоту (ординату) диаграммы). Из точек разметки оси ординат 1, 2, 3, 11 проведем прямые, параллельные оси абсцисс, до пересечения с соответствующими перпендикулярами. Соединив точки пересечения плавной линией, получим диаграмму перемещений точки В механизма.

Графически дифференцируя диаграмму перемещений, строим диаграмму скоростей точки В. Для этого проводим хорды кривой на соответствующих участках разметки (0 – 1; 1 – 2; 2 – 3 и т. д.) и обозначим их a, b, c,... c¢, b¢, a¢. В системе координат ХОY продолжаем ось абсцисс влево и на произвольно выбранном расстоянии Н₁ обозначаем полюс P_V. В примере Н₁ = 30 мм. Из полюса P_V проводим лучи, параллельные этим хордам до пересечения с осью
ординат y.

Из точек пересечения лучей a, b, c,... c¢, b¢, a¢ с осью y проводим прямые, параллельные оси абсцисс, до середины между вертикалями. Соединив точки плавной кривой, получаем диаграмму скоростей точки В механизма.

Графически дифференцируя диаграмму скоростей, получаем диаграмму ускорений точки В. Полюсное расстояние Н₂ принимаем равным 20 мм.

Масштабы кинематических диаграмм:

угла поворота – рад/мм;

времени – с/мм;

перемещений – м/мм;

скоростей – м/с × мм^-1;

ускорений – м/с² × мм^-1.

По построенным диаграммам можно наглядно проследить за характером изменений кинематических параметров за полный цикл работы механизма и получить значения перемещений, скоростей и ускорений точи В через любой промежуток времени.

 

Определение скоростей точек механизма методом планов скоростей

 

Зная закон движения ведущего звена и длину каждого звена механизма, можно определить скорости его точек по значению и направлению в любом положении механизма путем построения плана скоростей для этого положения. Значения скоростей отдельных точек механизма необходимы при определении производительности и мощности машины, потерь на трение, кинематической энергии механизма; при расчете на прочность и решении других динамических задач.

Построение планов скоростей и чтение их упрощаются при использовании свойств этих планов:

1) векторы, проходящие через полюс p_V выражают абсолютные скорости точек механизма. Они всегда направлены от полюса. В конце каждого вектора принято ставить малую букву a, b, c,... s или другую, которой обозначена точка или шарнир механизма A, B, C,... S (рис. 2.3, а). Точки плана скоростей, соответствующие неподвижным точкам механизма, находятся в полюсе Р_V (О₁, О₂);

2) векторы, соединяющие концы векторов абсолютных скоростей, не проходящие через полюс, изображают относительные скорости. Направлены они всегда к той букве, которая стоит первой в обозначении скорости. Например, скорость V_BА направлена от точки а к точке b, скорости V_DO2 и V_DC – соответственно от O₂ к точке d и от точки с к точке d (рис. 2.3, б);

3) каждое подвижное звено механизма изображается на плане скоростей соответствующим одноименным, подобным и сходственно расположенным контуром, повернутым относительно схемы механизма на 90^° в сторону мгновенного вращения данного звена. Это свойство плана называется свойством подобия и позволяет легко находить скорость точек механизма.

П р и м е р 3. Определить абсолютные и относительные скорости точек звеньев и угловые скорости звеньев механизма (см. рис.2.3, а) методом планов скоростей для положения, указанного в примере 2 (j₁ = 135°). Частота вращения кривошипа n₁ = 150 об/мин, w₁ = 15,7 с^-1. Центы тяжести всех звеньев условно расположены в их центрах (S₁... S₅).

Р е ш е н и е. Находим скорость точки А кривошипа О₁А по формуле, м/с:

 

v_A = w₁l_O1A; v_A = 15,7 × 0,200 = 3,120. (2.2)

 

Вектор направлен перпендикулярно к оси звена О₁А в сторону его вращения. Задаемся длиной отрезка Р_Vа (произвольно), который на плане будет изображать скорость точки А; . Тогда масштаб плана скоростей, м/с × мм^-1,

 

. (2.3)

 

Из произвольной точки p_V, в которой помещены и точки опор О₁, О₂, откладываем перпендикулярно к звену О₁А отрезок Р_Vа = 94,2 мм (см. рис. 2.3, б).

Рис. 2.3

Для дальнейшего построения плана скоростей и определения скорости точки В составляем уравнение:

 

; (2.4)

 

где - скорость точки А, известна по величине и направлению;

– относительна скорость точки В во вращении вокруг точки А.

Относительная скорость известна по линии действия: перпендикулярна к звену АВ, проводится на плане из точки а (конец вектора ). Скорость точки В относительно стойки направлена по линии хода ползуна, проводится на плане из полюса Р_V параллельно ходу ползуна до пересечения с вектором относительной скорости . Точка пересечения будет точкой b, определяющей конец вектора скорости :

 

м/с. (2.5)

 

Вектор ab изображает скорость точки В в относительном вращении вокруг точки А:

 

м/с. (2.6)

 

Положение точки С находим на плане скоростей по свойству подобия (из пропорции):

 

. (2.7)

 

Подставив значения длины звеньев на схеме и длины соответствующих отрезков на плане, определяем место точки С на плане скоростей. Соединив ее с полюсом, определяем значение скорости точки С, м/с:

 

. (2.8)

 

Для определения скорости точки D воспользуемся векторными равенствами:

 

(2.9)

 

где – скорость точки С, известна по значению и направлению;

– относительная скорость точки D во вращении вокруг точки С;

– скорость точки О₂ (равна нулю);

– относительная скорость точки D во вращении вокруг точки О₂.

Относительные скорости и известны по линии их действия: перпендикулярна к звену DC, проводится на плане из точки С (конец вектора ); перпендикулярна к звену DO₂, проводится на плане из точки О₂ (в полюсе p_V). На пересечении этих двух линий действия получаем точку D. Конец вектора скорости точки D

 

v_D = p_Vd k_V; v_D = 58×0,033 = 1,914 м/с. (2.10)

 

Направление скорости определяется направлением вектора p_Vd.

Вектор dc изображает скорость v_DC точки D в относительном вращении вокруг точки С:

 

v_DC = dc k_V; v_DC = 57×0,033 = 1,881 м/с. (2.11)

 

Вектор dO₂ (p_Vd) изображает скорость точки D в относительном вращении вокруг точки О₂:

 

v_DO2 = v_D = p_Vd k_V; v_DO2 = 58×0,033 = 1,914 м/с. (2.12)

 

Исходя из теоремы подобия (третье свойство плана скоростей), находим на плане точки S₁ – S₅, соответствующие центрам тяжести звеньев. Соединив их с полюсом р_V, определяем скорости центров тяжести звеньев механизма, м/с:

v_S1 = p_VS₁ k_V; v_S1 = 47,1×0,033 = 1,554;

v_S2 = p_VS₂ k_V; v_S2 = 73×0,033 = 2,409;

v_S3 = v_D = p_Vd k_V; v_S3 = 75×0,033 = 2,475; (2.13)

v_S4 = p_VS₄ k_V; v_S4 = 63×0,033 = 2,079;

v_S5 = p_VS₅ k_V; v_S5 = 29×0,033 = 0,957.

Пользуясь планом скоростей, определяем угловые скорости звеньев
2, 4, 5, с^-1:

;

;

.

Угловая скорость ползуна w₃ = 0, так как он движется поступательно по неподвижной направляющей.

Для выяснения направления угловой скорости звена АВ вектор скорости , направленной к точке b плана, мысленно переносим в точку В звена 2 и определяем, что он стремится повернуть это звено вокруг точки А против часовой стрелки. По аналогии определяем направления угловых скоростей звеньев w₄ (против часовой стрелки) и w₅ (против часовой стрелки).