Логические союзы: определения

Логическая теория высказываний является наиболее простой и, в то же время, фундаментальной частью логики. В ней под высказыванием понимается языковое выражение, о котором можно сказать только одно из двух: истинно оно или ложно.

Вопросы, просьбы, приказы, восклицания не являются высказываниями. Не являются ими и отдельные слова (кроме случаев, когда они выступают представителями высказываний – «Ночь. Улица. Фонарь. Аптека. Бессмысленный и тусклый свет» (А.Блок). Отсюда ясно, что логическая теория высказываний имеет весьма ограниченное применение.

Вообще-то логическая теория высказываний имеет дело не столько с самими высказываниями, сколько со схемами их построения. Но ошибочно было бы полагать, что эти схемы абсолютно абстрактны и бессодержательны. Их соотнесение с действительностью осуществляется указанием на их истинность или ложность, и не больше. При этом говорят, что такая-то схема принимает такое-то логическое значение – «истинно» или «ложно».

Высказывания (как и соответствующие им схемы построения) бывают простыми или сложными. Сложное высказывание можно разбить на простые. Простое высказывание - на более простые не расчленяется. Например, высказывание «Полоцк – один из самых древних городов Беларуси, а Новополоцк – один из самых юных» можно разбить на два простых высказывания. Поэтому это сложное высказывание. При построении схем в качестве переменных для простых высказываний обычно используются строчные буквы латинского алфавита: p, q,r, s, …; для любых же (иногда нам безразлично, простое это высказывание или сложное) - прописные буквы этого алфавита: A, B, C, D, ….

Важно обратить внимание на тот факт, что логическое значение сложной схемы высказывания в современной логике ставится в зависимость (является функцией) от логических значений простых схем. Последние рассматриваются в качестве исходных элементов логики высказываний, ее строительных блоков. Как увидим в дальнейшем, в других разделах логики (например, в силлогистике) простые высказывания расчленяются на части.

Сложные высказывания и соответствующие им схемы образуются с помощью особых выражений - функторов. Важнейшие из них – отрицание, конъюнкция, дизъюнкция (слабая и сильная), импликация, эквиваленция. Сложную схему принято называть именем функтора, с помощью которого оно образовано, т.е. если, например, схема образуется с помощью конъюнкции, то и сама схема называется конъюнкцией.

Теперь дадим определения названных функторов.

Отрицанием A называется схема, обозначаемая выражением A (читается: «не-A», «неверно, что A»), которая принимает значение «истинно», если и только если A принимает значение «ложно». Данное определение можно выразить с помощью следующей таблицы (таблицы истинности), где «и» обозначает «истинно», а «л» – «ложно»:

Таблица 1

A	A
и	л
л	и

 

Пример: пусть А принимает значение «ложно» хотя бы в результате подстановки высказывания «Солнце – не звезда»; тогда A – истинное высказывание «Солнце – звезда». Верно и обратное.

Конъюнкция A и B - схема, обозначаемая выражением AÙB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение истинно принимает как A, так и B (см. 3-й столбец табл. 2). Выражение AÙB читается: «A и B». Примеры: пусть А в результате подстановки преобразуется в истинное высказывания «6 делится на 2», а В – также в истинное высказывание «6 делится на 3». Получим истинное высказывание «6 делится на 2 и на 3». Верно и обратное: при истинной конъюнкции
«6 делится на 2 и на 3» истинными являются ее составляющие (конъюнкты). Если же А или В принимает значение «ложно», то значение «ложно» примет и вся конъюнкция AÙB (например,
«5 – простое число и делится на 2»). Если же дано, что конъюнкция AÙB имеет значение «ложно», то вопрос о логическом значении каждого из ее конъюнктов остается открытым.

Таблица 2

A	B	A Ù B	A Ú B	A Ú B	A ® B	A «B
и	и	и	и	л	и	и
л	и	л	и	и	и	л
и	л	л	и	и	л	л
л	л	л	л	л	и	и

 

Дизъюнкция слабая А и В - схема, обозначаемая выражением AÚB, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает хотя бы одно из A и B (см. 3-й столбец табл. 2). Выражение AÚB читается: «A или B» (см. 4-й столбец табл. 2). Ему могут соответствовать и другие грамматические связи, подчеркивающие тот факт, что одно событие не исключает другое. Примеры: «Квадрат – ромб или параллелограмм» – истинно; «Квадрат – ромб или трапеция» – истинно; «Квадрат – трапеция или круг» – ложно.

Дизъюнкциия сильнаяА и В - схема, обозначаемая выражением A Ú B, которая принимает значение «истинно», если и только если значение «истинно» принимает лишь одно из A и B (см. столбец 5-й табл. 2). Выражение A Ú B читается: «либо A, либо B». Примеры: «Всякое высказывание либо истинно, либо ложно» – истинно; «Всякое высказывание либо неистинно, либо ложно» – ложно.

Импликация A и B - схема, обозначаемая выражением A®B, которая принимает значение «ложно», если и только если A принимает значение «истинно», а B – значение «ложно» (см. 6-й столбец табл. 2). Выражение A®B читается: «Если A, то B», «Неверно, что A и не-B» и др. При этом A называется антецедентом, а B – консеквентом импликации. Пример: «Если в обращении появляется избыток бумажных денег, то они обесцениваются» – истинно; «Если предприятие становится рентабельным, то производительность труда на нем падает» – ложно.

Эквиваленция A и B – схема, обозначаемая выражением A«B, которая принимает значение «истинно», если и только если логические значения A и B совпадают (см. 7-й столбец табл. 2). Выражение A«B читается: «A тогда и только тогда, когда B», «A, если и только если B», «A эквивалентно B» и др. Примеры: «Четырехугольник параллелограмм тогда и только тогда, когда его диагонали точкой пересечения делятся пополам» – истинно; «монета падает орлом, если и только если она падает решкой» – ложно.

Названные операции могут применяться как для действий с простыми, так и со сложными высказываниями и их схемами. Например, высказывание «Если я устал или голоден, то я не могу готовиться к занятиям» является импликацией, антецедент которой - слабая дизъюнкция, а консеквент - отрицание. Схема этого высказывания (p Ú q)®Ø r, где p, q, r – переменные соответственно для высказываний «я устал», «я голоден», «я могу заниматься». Придавая логические значения исходным переменным, можно составить таблицу истинности более сложной схемы, установив, таким образом, ее логические значения в каждом из восьми случаев. Порядок выполнения операций при этом указывается скобками. Составим таблицу для схемы (pÚ q)® Ø r.

Таблица 3

 

p	q	r	(p Ú q) ® Ø r
и	и	и	и и и л л
и	и	л	и и и и и
и	л	и	и и л л л
л	и	и	л и и л л
и	л	л	и и л и и
л	и	л	л и и и и
л	л	и	л л л и л
л	л	л	л л л и и

 

Логические значения нашей схемы расположены в 7-м столбце и выделены полужирным шрифтом.

Рассматривая определения основных логических союзов, мы неявно ознакомились с языком логики высказываний. Как видим, ее алфавит включает символы:

1. p, q, r, s, … – символы, которые обозначают переменные для простых высказываний; A, B, C, D, … - символы, которые обозначают переменные для любых высказываний;

2. Ù, Ú, Ú, ®, «, Ø - символы для обозначения логических союзов;

3. (,) – скобки как указатели совершения логических действий.

Никаких других символов в логике высказываний нет.

Осмысленное выражение языка логики высказываний определяется следующим образом:

1. Всякая переменная есть осмысленное выражение;

2. Если А – осмысленное выражение, то Ø A, A Ù B, A Ú B, A Ú B, A ® B, A «B - тоже осмысленные выражения;

3. Никаких других осмысленных выражений в логике высказываний нет.

Упражнения:

1. Установите, какие из следующих предложений являются, а какие не являются высказываниями:

a) Всякая общественно-экономическая формация имеет своей основой способ производства материальных благ.

b) Был ли Наполеон французским императором?

c) Наполеон никогда не был французским императором.

d) Не гонялся бы ты, поп, за дешевизной! (А.С.Пушкин)

e) X + Y = Z (в математике).

f) Цена товара x меньше его стоимости.

2 Выясните, в значении каких логических союзов употребляются грамматические союзы в следующих предложениях:

a) Хоть редко, да метко.

b) «Почтенный старец этот постоянно был сердит или выпивши, или выпивши и сердит вместе» (А.Герцен).

c) «Храбрец или сидит в седле, иль тихо спит в сырой земле» (Р.Га м затов).

d) Движение яхты было возможно лишь тогда, когда дул ветер.

e) «Стоило отцу заикнуться о плате, как капитан с яростью принимался сопеть» (Р.Стивенсон).

f) Атеросклероз чаще всего поражает жителей больших городов и людей умственного труда.

3 Запишите следующие сложные высказывания в символической форме:

a) Фемистокл знал каждого жителя Афин в лицо и по имени.

b) Каждый из нас знает книгу или хотя бы имя Альфреда Брема.

c) Каждый может посмотреть в микроскоп, но не каждый может в него что-то увидеть (А.Левенгук).

d) Неверно, что он готовился к уроку и решит эту задачу.

e) Неверно, что он готовился к уроку, однако он решит эту задачу.

f) Неверно, что ветер дует, если и только если нет дождя.

g) «Иль чума меня подцепит, иль мороз окостенит, иль мне в лоб шлагбаум влепит непроворный инвалид»
(А.С. Пушкин).

h) Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если оно не вынуждено изменить это состояние под влиянием действующих сил.

i) Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если и только если оно не вынуждено изменить это состояние под влиянием действующих сил.

4 Дано высказывание р, ионо истинно. можно ли установить логическое значение q в следующих случаях? Если да, то каково оно?

a) p Ù q истинно;

b) p Ú q истинно;

c) p Ú q ложно;

d) p ® q ложно;

e) p «q истинно.

5 Пользуясь определениями логических союзов, решите следующую задачу:

В деле об убийстве имеются двое подозреваемых – Петр и Павел. Допросили четырех свидетелей, которые последовательно дали такие показания: «Петр не виноват», «Павел не виноват», «Из двух первых показаний, по меньшей мере, одно истинно», «Показания третьего ложны». Четвертый свидетель оказался прав. Кто преступник?

6 Если р ® q истинно, Ø q Ú r истинно, а r ложно, то каким будет логическое значение р?

7 Установите логическое значение высказывания
«То потухнет, то погаснет».