A Ú (BÚ C) Û (A Ú B)ÚC.

 

Отношение равнозначности позволяет без ущерба для истинности некоторого текста взаимозаменять высказывания соответствующих схем (для этого пригодны все названные случаи равнозначности), устранять избыточную информацию (случаи (10) – (13), (16) – (19)), выделять новые схемы, если это нужно для познавательных целей (случаи (12)-(15)).

Отношение частичной совместимости

Схемы a и b находятся в отношении частичной совместимости, если и только если при одинаковых значениях переменных они вместе получают значение «истинно», но не получают значение «ложно». Таковы, например, схемы высказываний "Если план выполним, то он обеспечен ресурсами" и "Если план обеспечен ресурсами, то он выполним". Из них получаются высказывания, истинные в двух случаях (см. таблицу 10, строки 1-ю и 4-ю), но совместная ложность высказываний исключена. Говоря языком математики, в отношении частичной совместимости находятся прямая и обратная теоремы.

Таблица 10

A	B	A ® B	B ® A
и	и	и	и
и	л	л	и
л	и	и	л
л	л	и	и

 

Теперь рассмотрим отношение несовместимости. В качестве разновидностей этого отношения нужно выделить отношения противоречия и противности.

Отношение противоречия

Схемы a и b находятся в отношении противоречия, если и только если при одинаковых значениях переменных они получают разные логические значения. Это значит, что с их помощью порождаются высказывания, которые не могут быть вместе истинными, как и не могут быть вместе ложными. Таковы, например, схемы A Ú B и A«B. Какие бы значения мы ни придавали A и B, если A Ú B получает значение «истинно», то A«B - значение «ложно», и наоборот (см. табл.11). В любом случае высказывания, соответствующие схемам, находящимся в отношении противоречия, будут иметь противоположные логические значения, отрицая, таким образом, друг друга.

Таблица 11

A	B	A Ú B	A «B
и	и	л	и
и	л	и	л
л	и	и	л
л	л	л	и

 

Отношение противности

Схемы a и b находятся в отношении противности, если и только если при одинаковых значениях они вместе получают значение «ложно», но не получают значение «истинно». Например, в отношении противности находятся схемы AÙB и AÙØB (см. табл.12). Соответствующие им высказывания "9 – четное число и делится на 3" и "9 – четное число и не делится на 3" – оба ложны, а высказывания "Он поехал на красный свет и нарушил правила дорожного движения” и “Он поехал на красный свет и не нарушил правила дорожного движения" не являются вместе истинными: если одно истинно, то второе ложно, и наоборот. Схемы этих высказываний, как и сами высказывания, не отрицают друг друга.

Таблица 12

A	B	A Ù B	A Ù Ø B
и	и	и	л
и	л	л	и
л	и	л	л
л	л	л	л

 

Установление отношений между логическими формами облегчает содержательный анализ, обеспечивает точность и определенность наших рассуждений.

Упражнения:

1. Какие из следующих логических форм являются сопоставимы, какие – нет (попарно):

а) A, B; б) A ® (A ® C), C; в) (A ® B) Ù (A ® C), A ® B; г) A Ú B, C Ú Ø C?

2. Являются ли равнозначными следующие высказывания (попарно):

a) Каждый студент нашего курса способен или трудолюбив; неверно, что каждый студент нашего курса не способен и не трудолюбив.

b) Иван и Марья друг друга не любят; неверно, что Иван любит Марью и Марья любит Ивана.

c) Если слово ставится в начале предложения, то оно пишется с большой буквы; если слово не ставится в начале предложения, то оно не пишется с большой буквы.

d) Число четное тогда и только тогда, когда оно делится на два; если число четное, то оно делится на два, а если число нечетное, то оно не делится на два.

3. Установите все возможные отношения, которые имеют место между логическими формами следующих высказываний:

a) Если вкусно, то не дешево.

b) Вкусно и дешево.

c) Если не вкусно, то дешево.

d) Не вкусно и не дешево.

4. Пользуясь положениями о равнозначности из перечня (1) – (21), упростите следующие высказывания:

a) “Тот, кто понимает Толстого, не следует за ним. А тот, кто следует за ним, не понимает его” (В.С.Маклаков, член 2-й Государственной думы).

b) Система находится в состоянии устойчивого равновесия, если после незначительного возмущения она стремится вернуться в исходное состояние. Система неустойчива, если незначительное возмущение влечет за собою всевозрастающее удаление системы от ее исходного состояния.

c) «Поскольку математические предложения относятся к действительности, они не являются бесспорными, а поскольку они являются бесспорными, они не относятся к действительности» (А.Эйнштейн).

5. Используя отношения равнозначности (1) – (21), решите следующую задачу. Рабочий должен следить за деталями, движущимися мимо него по конвейеру, он должен снимать с ленты конвейера некоторые детали и пропускать остальные. Бригадир сказал ему, чтобы он снимал детали, которые удовлетворяют одновременно ряду условий, а именно, они:

a) искривлены, заржавлены или не окрашены;

b) нестандартны, заржавлены или и то и другое месте;

c) искривлены, не заржавлены или и то и другое вместе;

d) нестандартны, не заржавлены или и то и другое вместе;

e) обладают хотя бы одной из следующих характеристик: искривлены, заржавлены или окрашены.

Предложенную в столь неудобной форме инструкцию рабочий упростил до двух характеристик объектов. Какие это характеристики?

6. Установлено, что высказывание формы A Ú B является истинным. Что можно сказать о логических значениях высказываний форм:

a) A Ù B;

b) Ø A Ù Ø B;

c) Ø A Ú Ø B?

В каком отношении находится каждая из них к форме A Ú B?

7. Рассуждая «от противного» при доказательстве теоремы «Если в многоугольник не вписывается окружность, то он неправильный», студенты формулируют допущения:

a) Если в многоугольник вписывается окружность, то он правильный;

b) Если многоугольник правильный, то в него вписывается окружность;

c) В многоугольник не вписывается окружность, и он правильный;

d) Многоугольник вписывается в окружность, и он правильный.

Какой из подходов является верным? Укажите причины ошибок.

8. Джон, Браун и Смит обвиняются в подделке документов о подлежащих налоговому обложению доходах. Они дают такие показания:

Браун: Джон виноват, а Смит невиновен.

Джон: Если Браун виновен, то виновен Смит.

Смит: Я не виновен, хотя бы один из них виновен.

Построив таблицы истинности полученных высказываний, ответьте на следующие вопросы:

а) Совместимы ли показания всех трех подозреваемых?

б) Показания одного из подозреваемых следуют из показаний другого. О чьих показаниях идет речь?

в) Если все трое невиновны, то кто совершил лжесвидетельство?

г) Предполагая, что показания всех подозреваемых верны, укажите, кто невиновен, а кто виновен?

д) Если невиновный говорит правду, а виновный лжет, то кто невиновен, а кто виновен?

9. Проверьте табличным способом равносильности (1) – (21).

10. Статья 135 Конституции Российской Федерации гласит: «Конституция Российской Федерации считается принятой, если за нее проголосовало более половины избирателей, принявших участие в голосовании, при условии, что в нем приняло участие более половины избирателей». Допустим, что в голосовании не приняло участие более половины избирателей или за Конституцию не проголосовало более половины избирателей, принявших участие в голосовании. Тем не менее, некоторая авторитетная инстанция (например, Центризбирком) приняла решение считать Конституцию принятой. Совместимо ли данное решение с Конституцией Российской Федерации при данных обстоятельствах?