Правило #1: Дроби и Проценты
Если вы — один из тех людей, у которых никогда не получалось ладить с дробями и процентами, пришло время столкнуться с ними лицом к лицу и победить, потому что они являются языком вероятности. Не беспокойтесь – всегда можно использовать калькулятор – никто не смотрит. Вам нужно понять, что простые дроби, десятичные дроби и проценты – это все одно и то же, то есть они взаимозаменяемы. Иными словами, ½ = 0.5 = 50%. Это не разные числа; это просто разные способы записать одно и то же число.
Переводить простые дроби в десятичные очень просто. Нужен десятичный эквивалент 33/50? Просто разделите 33 на 50 на калькуляторе, и вы получите 0.66. А что делать с процентами? С ними тоже все просто. Если вы поищете слово Percent в словаре, вы увидите, что буквально это означает “per 100” (на 100). Значит, 66% на самом деле означает 66 на 100 или 66/100 или 0.66. Если посмотреть на подсчеты шевалье, можно понять, зачем нужно так часто переводить числа – людям свойственно говорить на языке процентов, но мы также часто говорим “один шанс из шести” — так что мы должны уметь конвертировать эти формы. Если у вас никогда не ладилось с математикой, просто расслабьтесь, и попрактикуйтесь немного с калькулятором, и вы сразу всему научитесь.
Правило #2: От Нуля до Единицы – вот и все!
Тут все предельно просто. Вероятность может быть только от 0% до 100%, то есть от 0 до 1 (смотри Правило #1), не больше и не меньше. Мы можем сказать, что что-то случится с вероятностью 10%, но такой вещи как -10% или 110% вероятности нет. 0% вероятности события означает, что это событие не произойдет, 100% — это определенно случится. Все это может показаться очевидным, но именно такие очевидные вещи были основной проблемой подсчетов шевалье. Давайте посмотрим на его первую игру. Он был уверен в том, что, бросая четыре кости, он имел шанс, равный 4 х (1/6) или 4/6 или 0.66 или 66% на то, что выпадет шестерка. А если бы он бросал кость семь раз? Тогда бы у него получилась вероятность, равная 7 х (1/6) или 7/6 или 1.17 или 117%! А такого определенно не могло быть – если вы бросаете кость семь раз, вероятно, что шестерка все-таки выпадет один раз, но вы не можете быть в этом уверены (на самом деле, шанс равен приблизительно 72%). Если когда вы считаете вероятность, у вас получается число больше, чем 100% (или меньше, чем 0%), вы можете быть уверены в том, что вы сделали что-то не так.
Правило #3: “Желание” Разделенное на “Возможные Результаты” Равняются Вероятности
Первые два правила описывают лишь основы, но теперь пришло время поговорить о том, чем на самом деле является вероятность – и в этом нет ничего сложного. Вы просто берете количество “желаемых” результатов и делите его на количество возможных результатов (при условии, что результаты равновозможные), и вот, у вас уже есть вероятность. Каков шанс выпадения шестерки, когда вы бросаете кость? Так, у нас есть шесть возможных результатов и один желаемый, значит, шанс получить шестерку равен 1/6 или около 17%. Какой шанс, что выпадет парное число, когда вы бросаете кость? На кубике 3 парных числа, а это значит, что ответ 3/6 или 50%. Какой шанс вытащить из колоды фигурную карту (валет, дама, король)? В колоде есть 12 фигурных карт, а всего в ней 52 карты, значит, шанс вытянуть фигурную карту равняется 12/52 или 23%. Если вы понимаете это, вы понимаете основы вероятности.
Правило #4: Перечисляйте!
Если Правило #3 такое же простое, каким кажется на первый взгляд (а так оно и есть), то почему же тогда вероятность такая сложная? Причина кроется в том, что те два числа, которые нам нужны (число “желаемых” результатов и число ожидаемых результатов), не всегда бывают очевидными. Например, если я спрошу вас, каким будет шанс выпадения, по крайней мере, двух “орлов” при трех попытках подбрасывания монеты, и каким в этом случае будет число “желаемых” результатов? Я бы удивился, если бы вы смогли ответить на этот вопрос, не делая никаких записей. Самый простой способ решить эту задачу – перечислить все возможные результаты:
1 ООО
2 ООР
3 ОРО
4 ОРР
5 РОО
6 РОР
7 РРО
8 РРР
Как видим, у нас есть восемь возможных результатов. В каких из них “орел” выпадает, по крайней мере, дважды? #1, #2, #3 и #5. Это четыре результата из восьми возможных, то есть ответ – 4/8 или 50%. Но почему тогда у шевалье не получилось сделать того же со своими играми? В первой игре он бросал кость четыре раза, что означает 6 х 6 х 6 х 6 или 1296 возможных вариантов. Это потребовало бы некоторых усилий, но он мог бы выделить около часа на то, чтобы перечислить все возможные результаты (список выглядел бы примерно так: 1111, 1113, 1114, 1115, 1116, 1121, 1122, 1123 и т.д.), а затем еще пару минут на то, чтобы посчитать количество комбинаций, содержащих шестерки (671). И в конце разделить это количество на 1296, чтобы получить ответ на свой вопрос. Подобный подсчет поможет вам решить любую проблему, связанную с вероятностью, если у вас, конечно, есть на это время. Теперь давайте посмотрим на вторую игру, где шевалье бросал 2 кости 24 раза. Для двух костей существуют 36 возможных результатов, то есть, посчитав количество результатов при 24 бросках, нам нужно будет записать количество комбинаций, равное 36 в 24 степени (число, состоящее из 37 цифр). Даже если бы он мог писать по одной комбинации в секунду, составление списка отняло бы больше времени, чем возраст самой вселенной. Перечисление может быть очень удобным подходом, но если оно занимает слишком много времени, нужно искать короткие пути – именно для этого нужны следующие правила.
Правило #5: В Некоторых Случаях ИЛИ Означает Сложение
Очень часто нам нужно определить шанс “того ИЛИ иного” события, как например, какой шанс вытащить из колоды фигурную карту ИЛИ туз? Когда два события, о которых мы говорим, являются взаимоисключающими; иными словами, когда они оба не могут произойти одновременно, вы можете сложить их индивидуальные вероятности, чтобы получить общую вероятность. Например, шанс вытянуть фигурную карту составляет 12/52, а шанс вытянуть туз – 4/52. Поскольку эти события взаимоисключающие (они не могут произойти одновременно), мы можем их суммировать: 12/52 + 4/52 = 16/52, или около 31% вероятности.
Но что, если задать другой вопрос: каковы шансы вытащить из колоды туз или бубну? Если суммировать эти вероятности, мы получаем 4/52 + 13/52 (13 бубновых карт в колоде) = 17/52. Но, если мы перечислим результаты, то увидим, что это неправильный ответ; правильный ответ – 16/52. Почему? Потому что эти два случая не являются взаимоисключающими – я могу вытащить бубновый туз! Поскольку этот случай не взаимоисключающий, “или” не означает сложение.
Давайте посмотрим на первую игру шевалье. Кажется, что он использует это правила для своих костей – сложение вероятностей: 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6. Но он получает неправильный ответ, потому что эти четыре события не взаимоисключающие. Правило сложения весьма полезное, но только если вы уверены в том, что события являются взаимоисключающими.
Правило #6: В Некоторых Случаях И Означает Умножение
Это правило практически противоположное предыдущему! Если мы хотим знать, чему равняется вероятность двух событий, которые происходят одновременно, мы можем умножить их вероятности, чтобы получить ответ – но только если эти два события НЕ взаимоисключающие! Возьмем две игральных кости. Если мы хотим узнать вероятность выпадения двух шестерок, нам нужно умножить вероятность двух событий: шанс получить шесть на одной кости равняется 1/6, а также шанс получить 6 на второй кости, который тоже равняется 1/6. Выходит, что шанс выпадения двух шестерок – 1/6 х 1/6 = 1/36. Вы могли бы одинаково успешно прийти к этому выводу путем перечисления, но это отняло бы у вас намного больше времени.
В Правиле #5 мы пытались узнать вероятность вытянуть туз ИЛИ бубну из колоды – правило не подействовало, потому что эти события не были взаимоисключающими. Теперь давайте попробуем узнать вероятность вытащить туза И любой карты бубновой масти. Иными словами, какая вероятность вытащить бубнового туза? Интуитивно мы понимаем, что этот шанс равен 1/52, но мы можем проверить это при помощи Правила #6, поскольку мы знаем, что оба события не являются взаимоисключающими. Шанс вытащить туз равняется 4/52, а шанс вытащить бубну – 13/52. Умножим их: 4/52 х 13/52 = 52/2704 = 1\52. То есть правило работает и соответствует нашей интуиции.
Достаточно ли у нас уже правил, чтобы решить проблему шевалье? Давайте взглянем на первую игру:
Первая игра: Бросая одну кость четыре раза, шевалье выигрывал, если выпадала, по крайней мере, одна шестерка.
Мы уже пришли к тому, что могли пересчитать все результаты и получить ответ 671/1296, но в этом случае это заняло бы целый час. Можно ли сделать это быстрее, используя те правила, которые мы уже знаем?
(Я хочу вас предупредить – дальше все будет несколько сложнее. Если вам это не сильно нужно, избавьте себя от лишней головной боли и просто пропустите Правило #7. Если вам это на самом деле нужно, приготовьтесь — оно того стоит).
Если бы вопрос был о том, каковы шансы выпадения четырех шестерок при кидании одной кости четыре раза, это был бы вопрос с “И” для четырех не взаимоисключающих событий, что позволило бы нам обойтись Правилом #6: 1/6 х 1/6 х 1/6 х 1/6 = 1/1296. Но в нашей задаче другое условие. Перед нами стоит вопрос с “ИЛИ” для четырех не взаимоисключающих событий (возможно, что шевалье получит больше, чем одну шестерку за четыре броска). Так что же нам делать? Первый способ – выделить взаимоисключающие события и суммировать их. Но есть и другой способ фразировать эту игру:
Какой шанс бросить кость и получить следующие результаты:
1 Четыре шестерки, ИЛИ
2 Три шестерки и одна не-шестерка, ИЛИ
3 Две шестерки и две не-шестерки, ИЛИ
4 Одна шестерка и три не-шестерки
Это может звучать немного сложно, но мы имеем четыре взаимоисключающих события, и если мы сможем узнать вероятность каждого из них, мы сможем просто суммировать их и получить ответ на свой вопрос. Мы уже узнали вероятность события (а), используя Правило #6: 1/1296. А что насчет (b)? На самом ли деле (b) – это четыре разных взаимоисключающих события:
1 6, 6, 6, не-шесть
2 6, 6, не-шесть, 6
3 6, не-шесть, 6, 6
4 не-шесть, 6, 6, 6
Вероятность выпадения шестерки равна 1/6, а вероятность выпадения не-шестерки – 5/6. То есть вероятность каждого из этих событий – 1/6 х 1/6 х 1/6 х 5/6 = 5/1296. Теперь, если суммировать все четыре, получается 20/1296. Выходит, что вероятность (b) – 20/1296.
Что насчет (c)? Здесь все так же, как и в предыдущем случае, но с большим количеством комбинаций. Сложно посчитать точное количество комбинаций с двумя шестерками и двумя не-шестерками, но эта цифра равна шести:
1 6, 6, не-шесть, не-шесть
2 6, не-шесть, 6, не-шесть
3 6, не-шесть, не-шесть, 6
4 не-шесть, 6, 6, не-шесть
5 не-шесть, 6, не-шесть, 6
6 не-шесть, не-шесть, 6, 6
И вероятность каждой из них – 1/6 х 1/6 х 5/6 х 5/6 = 25/1296. Суммируем все шесть и получаем 150/1296.
Осталось только (d), что является противоположностью к (a):
1 не-шесть, не-шесть, не-шесть, 6
2 не-шесть, не-шесть, 6, не-шесть
3 не-шесть, 6, не-шесть, не-шесть
4 6, не-шесть, не-шесть, не-шесть
Вероятность каждого из вариантов – 5/6 х 5/6 х 5/6 х 1/6 = 125/1296. Складываем все четыре и получаем 500/1296.
Выходит, мы высчитали вероятность для четырех взаимоисключающих событий:
1 Четыре шестерки – (1/1296)
2 Три шестерки и одна не-шестерка – (20/1296)
3 Две шестерки и две не-шестерки – (150/1296)
4 Одна шестерка и три не-шестерки – (500/1296)
Суммируя эти четыре вероятности (в соответствии с правилом #5), мы получаем общую вероятность 671/1296 или около 51.77%. Таким образом, мы можем видеть, насколько выгодной была эта игра для шевалье. Побеждая чаще, чем в 50% случаев, он, в конечном счете, имел неплохие шансы на выигрыш, но вероятность была достаточно близка к середине, чтобы его друзья верили, что у них был шанс победить – по крайней мере, какое-то время. Но этот результат определенно отличается от тех 66%, на которые рассчитывал шевалье.
Тот же ответ мы могли бы получить путем перечисления, но тогда это бы заняло слишком много времени. Тем не менее, некое перечисление все же имело место – просто правила сложения и умножения позволяют нам перечислять все намного быстрее. Но можем ли мы таким путем получить ответ на вопрос о второй игре шевалье? Мы можем, но с 24 бросками двух костей мы потратили бы на это больше часа. Такой подход определенно быстрее перечисления, но если проявить немного смекалки, можно еще значительнее ускорить процесс – здесь на помощь приходит Правило #7.
Правило #7: Один минус “ДА” = “НЕТ”
Это больше интуитивное правило. Если шанс какого-то события равен 10%, то шанс, что это событие не произойдет – 90%. Почему это полезно? Потому что иногда вычислить вероятность происшествия какого-то события сложнее, чем вероятность того, что оно НЕ произойдет.
Посмотрим на вторую игру шевалье. Вычислить вероятность выпадения, по крайней мере, одной двойной шестерки при 24 бросках было бы крайне трудно потому, что тогда бы нам пришлось сложить слишком много событий (1 двойная шестерка, 23 не-шестерки, 2 двойные шестерки, 22 не-шестерки и т.д.) С другой стороны, что, если мы зададим вопрос по-другому: Какой шанс бросить две кости двадцать четыре раза и НЕ ни одной двойной шестерки? Теперь это вопрос с “И” для не взаимоисключающих событий, так что мы можем применить Правило #6, чтобы узнать ответ. Но сначала мы еще два раза используем Правило #7 – смотрите.
Шанс, что двойная шестерка выпадет после одного броска, равен 1/36. Итак, согласно Правилу #7, вероятность того, что двойная шестерка не выпадет – 1 – 1/36 или 35/36.
То есть, используя Правило #6 (умножение), шанс на то, что двойная шестерка не выпадет ни разу при 24 бросках — 35/36 х 35/36 двадцать четыре раза или, чтобы было понятнее, 35/36 в 24 степени. Вы вряд ли захотите делать все эти подсчеты вручную, но если взять калькулятор, то вы увидите, что ответ – 0.5086 или 50.86%. Но это вероятность проигрыша шевалье. Чтобы вычислить вероятность его выигрыша, нам нужно применить Правило #7 еще раз: 1 – 0.5086 или около 49.14%. Теперь понятно, почему он проигрывал. Шанс на победу был настолько близким к половине, что его трудно было отличить от шанса на поражение, но после большого количества игровых сессий, стало понятно, что поражение было более вероятным исходом.
Несмотря на то, что все вопросы, связанные с вероятностью, можно решить посредством перечисления, Правило #7 поможет сохранить вам много времени. На самом деле, это же правило мы могли бы применить и для первой игры Шевалье.
Правило #8: Сумма нескольких линейных случайных выборов – это НЕ линейный случайный выбор!
Не паникуйте. Как бы сложно это ни звучало, на самом деле все просто. “Линейный случайный выбор” — это просто случайное событие, в котором все результаты имеют одинаковую вероятность. Бросание игральной кости – это отличный пример линейного случайного выбора. Хотя, если бросить несколько игральных костей, то возможные результаты НЕ будут иметь одинаковую вероятность. Если вы, например, бросаете две кости, то шанс получить семь довольно высок, в то время как шанс получить 12 намного меньше. Перечислив все возможности, вы поймете, почему так получается:
Рис 10.12
Посмотрите, как много в этой таблице 7, и только одна маленькая 12! Мы можем продемонстрировать это на диаграмме, которая называется кривая распределения вероятности, чтобы увидеть шансы каждого из результатов:
Рис. 10.13
Правило #7 многим может показаться слишком очевидным, но я часто встречаю начинающих геймдизайнеров, которые составляют вместе два случайно выбранных числа, не понимая эффект этого сложения. А иногда это именно тот эффект, который вам нужен, например, в игре “Подземелья и Драконы” игрок зарабатывает (виртуальные) очки навыков достоинством от 3 до 18, бросая три обычные (шестигранные) игральные кости. В результате в игре доминируют навыки, достоинством 10 или 11, а 3 или 18 встречаются крайне редко, и это именно то, чего хотел дизайнер. А теперь представьте, насколько сильно игра отличалась бы от оригинальной версии, если бы, зарабатывая очки, игроки бросали один двадцатигранный кубик?
Геймдизайнеры, которые собираются использовать механику шанса как инструмент для создания своих игр, должны понимать, какая кривая распределения вероятности нужна именно им, а также знать, как ее получить. С опытом к вам придет понимание того, насколько ценными инструментами могут быть кривые распределения вероятности.
Правило #9: Бросайте Кости
Все вероятности, о которых мы говорили до этого, были теоретическими вероятностями, иными словами, тем, что должно случиться. Существует также практическая вероятность, которая является меркой того, что уже случилось. Например, если бросить кость, теоретическая вероятность выпадения шестерки составит ровно 1/6 или около 16.67%. Но я мог бы вычислить практическую вероятность, бросив игральную кость 100 раз и записав, сколько раз мне попадались шестерки. Мне могут выпасть 20 шестерок из 100. В этом случае практическая вероятность составит 20%, что не слишком сильно отличается от теоретической вероятности. Конечно, с увеличением количества попыток, практическая вероятность все ближе приближается к теоретической. Это правило получило название метод “Монте-Карло” в честь знаменитого казино.
Положительной чертой использования метода Монте-Карло для вероятности является то, что он не требует сложных математических подсчетов – вы проделываете одно и то же действие много раз и просто записываете результаты. Иногда результаты подобных тестов могут быть полезнее теоретической вероятности потому, что здесь мы имеем дело с реальными вещами. Если существуют факторы, которые нельзя учесть при математических подсчетах (может быть, что ваш кубик немного склоняется к шестерке) или же эти подсчеты настолько сложные, что вы не можете составить теоретическую картину вашей ситуации, метод Монте-Карло – это то, что вам нужно. Шевалье мог бы легко ответить на свой вопрос, бросая кости снова и снова, считая количество побед и разделяя их на число сделанных попыток.
А сегодня, в компьютерную эру, если вы хоть немного умеете программировать (или знаете того, кто умеет – смотрите Правило #10), вы можете без труда создать симуляцию миллиона попыток всего за несколько минут. На самом деле, это совсем не трудно — написать симуляцию игры и получить полезные ответы, касающиеся вероятности. Например, на какую клетку в Монополии фишки игроков становятся чаще всего? Теоретически это невозможно выяснить – но, используя компьютер и метод Монте-Карло, вы можете быстро это выяснить, написав симуляцию бросания кубика и передвижения фишки по игровому полю несколько миллионов раз.
Правило #10: Гики Любят Рисоваться (Закон Гомбо)
Это самое важное из всех правил вероятности. Если вы забудете все остальные правила, но будете помнить это одно, этого будет достаточно. У вероятности есть много сложных аспектов, в подробности которых мы вдаваться не будем – но если они вам встречаются, проще всего найти человека, который считает себя “математическим гением”. Обычно этим людям просто необходимо знать, что их помощь кому-то нужна, поэтому они вылезут из кожи, лишь бы помочь вам. Я использовал Правило #10 много раз для решения самых сложных вопросов геймдизайна, связанных с вероятностью. Если у вас нет знакомых математиков, оставляйте ваши вопросы на специализированных форумах или на других подобных сервисах. Если вы хотите получить быстрый ответ, начните ваш пост фразой “Наверное, эту проблему решить невозможно, но я думаю, что спросить все-таки стоит”, потому что многие математики любят поднимать собственную самооценку решением проблем, которые до них никто не смог решить. В известном смысле, ваша трудная проблема – это игра для них – почему бы не воспользоваться геймдизайнерскими приемами, чтобы увеличить позиции вашего поста?
Возможно, что вы даже окажете этим услугу своему гику! Я называю Правило #10 “Законом Гомбо”, в честь Антуана Гомбо, шевалье де-Мере, который, пользуясь этим принципом, не только решил свою игровую проблему, но и непреднамеренно получил начало теории вероятности.
Некоторые боятся применять Правило #10, потому что они боятся задавать глупые вопросы. Если это ваш случай, вспомните, что Паскаль и Ферма находятся в большом долгу перед шевалье – без его глупых вопросов они бы никогда не сделали своих фундаментальных открытий. Ваш глупый вопрос может сам стать открытием – но чтобы это узнать, нужно его задать.
Ожидаемое значение
В вашем дизайне вам придется по-разному использовать вероятность, но полезнее всего будет подсчитать ожидаемое значения. Очень часто каждое ваше действие в игре имеет значение, которое может быть либо позитивным, либо негативным. Это могут быть очки, медали, деньги или поражение. Ожидаемое значение в игре – это среднее арифметическое всех возможных значений, присущих конкретной игре.
Например, в настольной игре может быть правило, что когда игрок ступает на зеленое поле, он может бросить кубик и получить количество очков, соответствующее значению на нем. Ожидаемое значение этого события – это среднее арифметическое всех возможных результатов. Чтобы узнать среднее арифметическое в этом случае, при условии, что все вероятности тождественны, мы можем сложить все возможные значения игральной кости: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, что, разделенное на 6, дает нам результат 3.5. Как геймдизайнеру, вам очень важно знать, что каждый раз, когда кто-то оказывается на зеленом поле, он в среднем заработает 3.5 очка.
Но не все примеры такие простые – в некоторых встречаются негативные результаты, или результаты, которые не являются равновозможными. Возьмем игру, где игрок бросает два кубика. Если на кубиках выпадает 7 или 11, игрок получает 5 долларов, но если выпадает что-то другое, он теряет 1 доллар. Как мы можем вычислить ожидаемое значение для этой игры?
Шанс выпадения 7 – 6/36
Шанс выпадения 11 – 2/36
Согласно Правилу #8 шанс всех остальных результатов – 1 – 8/36 или 28/36.
Итак, чтобы посчитать все возможные значения, мы умножаем вероятности на их значения, а затем суммируем их, как вот здесь:
| Результат | Шанс х Результат | Значение |
| 6/36 х $5 | $0.83 | |
| 2/36 x $5 | $0.28 | |
| Все остальное | 28/36 x $1 | - $0.78 |
| Ожидаемое значение | $0.33 |
Как видно с таблицы, это хорошая игра, потому что при продолжительной игре вы будете выигрывать в среднем 0.33 цента за каждый раунд. Но, что если мы изменим игру до такой степени, что только 7 останется выигрышным числом? Это повлияет на ожидаемое значение следующим образом:
| Результат | Шанс х Результат | Значение |
| 6/36 x $5 | $0.83 | |
| Все остальное | 30/36 – $1 | - $0.83 |
| Ожидаемое значение | $0.00 |
Ноль в графе ожидаемое значение говорит о том, что эта игра похожа на подбрасывание монеты на протяжении долгого времени. Шансы на победу и на поражение абсолютно равны. Давайте теперь вновь изменим правила так, чтобы победной комбинацией была только 11.
| Результат | Шанс х Результат | Значение |
| 2/36 x $5 | $0.28 | |
| Все остальное | 34/36 x – $1 | - $0.94 |
| Ожидаемое значение | - 0.$86 |
Как вы могли догадаться, в этой игре вы будете обречены на поражение. Вы будете терять в среднем 86 центов за каждый раунд. Конечно, вы можете увеличить свои шансы остаться в плюсе, повысив награду за выпадение 11.
